题文
如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=(x>0)的图象交于点P(n,2),与x轴交于点A(﹣4,0),与y轴交于点C,PB⊥x轴于点B,且AC=BC. (1)求一次函数、反比例函数的解析式; (2)反比例函数图象上是否存在点D,使四边形BCPD为菱形?如果存在,求出点D的坐标;如果不存在,说明理由.
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题型:解答题 难度:中档
答案
(1)一次函数解析式为y=x+1,反比例解析式得:m=8,即反比例解析式为y=; (2)反比例函数图象上存在点D,使四边形BCPD为菱形,此时D坐标为(8,1). |
试题分析:(1)由AC=BC,且OC垂直于AB,利用三线合一得到O为AB中点,求出OB的长,确定出B坐标,将P与B坐标代入一次函数解析式求出k与b的值,确定出一次函数解析式,将P坐标代入反比例解析式求出m的值,即可确定出反比例解析式; (2)假设存在这样的D点,使四边形BCPD为菱形,如图所示,由一次函数解析式求出C坐标,得出直线BC斜率,求出过P且与BC平行的直线PD解析式,与反比例解析式联立求出D坐标,检验得到四边形BCPD为菱形,符合题意. 试题解析:(1)∵AC=BC,CO⊥AB,A(﹣4,0), ∴O为AB的中点,即OA=OB=4, ∴P(4,2),B(4,0), 将A(﹣4,0)与P(4,2)代入y=kx+b得:, 解得:k=,b=1, ∴一次函数解析式为y=x+1, 将P(4,2)代入反比例解析式得:m=8,即反比例解析式为y=; (2)假设存在这样的D点,使四边形BCPD为菱形,如图所示,
对于一次函数y=x+1,令x=0,得到y=1,即C(0,1), ∴直线BC的斜率为=﹣, 设过点P,且与BC平行的直线解析式为y﹣2=﹣(x﹣4),即y=, 与反比例解析式联立得:, 消去y得:=, 整理得:x2﹣12x+32=0,即(x﹣4)(x﹣8)=0, 解得:x=4(舍去)或x=8, 当x=8时,y=1, ∴D(8,1), 此时PD=,BC=,即PD=BC, ∵PD∥BC, ∴四边形BCPD为平行四边形, ∵PC=,即PC=BC, ∴四边形BCPD为菱形,满足题意, 则反比例函数图象上存在点D,使四边形BCPD为菱形,此时D坐标为(8,1). |
据专家权威分析,试题“如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=(x>0)的图象交于点P(n..”主要考查你对 反比例函数的定义,反比例函数的图像,反比例函数的性质,求反比例函数的解析式及反比例函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
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