题文
已知抛物线y=ax2+bx+2与x轴相交于点A(x1,0),B(x2,0)(x1<x2),且x1,x2是方程x2-2x-3=0的两个实数根,点C为抛物线与y轴的交点。 |
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(1)求a,b的值; (2)分别求出直线AC和BC的解析式; (3)若动直线y=m(0<m<2)与线段AC,BC分别相交于D,E两点,则在x轴上是否存在点P,使得△DEP为等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由。 |
题型:解答题 难度:偏难
答案
解:(1)由x2-2x-3=0,得x1=-1,x2=3, ∴A(-1,0),B(3,0), 把A,B两点的坐标分别代入y=ax2+bx+2联立求解,得; (2)由(1)可得, ∵当x=0时,y=2, ∴C(0,2), 设AC:y=kx+b,把A,C两点坐标分别代入y=kx+b, 联立求得k=2,b=2, ∴直线AC的解析式为y=2x+2; 同理可求得直线BC的解析式是; (3)假设存在满足条件的点P, 并设直线y=m与y轴的交点为F(0,m), ①当DE为腰时,分别过点D,E作DP1⊥x轴于P1,作EP2⊥x轴于P2, 如图,则△P1DE和△P2ED都是等腰直角三角形, DE=DP1=FO=EP2=m,AB=x2-x1=4, ∵DE∥AB, ∴△CDE∽△CAB, ∴,即, 解得m=, ∴点D的纵坐标是, ∵点D在直线AC上, ∴2x+2=,解得x=-, ∴, ∴,同理可求P2(1,0); ②当DE为底边时,过DE的中点G作GP3⊥x轴于点P3,如图, 则DG=EG=GP3=m, 由△CDE∽△CAB, 得,即, 解得m=1, 同1方法,求得, ∴DG=EG=GP3=1, ∴OP3=FG=FE-EG=, ∴P3(,0), 结合图形可知,P3D2=P3E2=2,ED2=4, ∴, ∴△DEP3是Rt△, ∴也满足条件。 综上所述,满足条件的点P共有3个,即。 |
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据专家权威分析,试题“已知抛物线y=ax2+bx+2与x轴相交于点A(x1,0),B(x2,0)(x1<x2),..”主要考查你对 求二次函数的解析式及二次函数的应用,求一次函数的解析式及一次函数的应用,等腰三角形的性质,等腰三角形的判定,相似三角形的性质 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
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