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已知：⊙O是正三角形ABC的外接圆．（1）如图1，若PC为⊙O的直径，连接AP，BP，求证：AP+BP=PC；（2）如图2，若点P是弧AB上任一点，连接AP，BP，那么结论AP+BP=PC还成立吗？试证明你的结-数学
[db:作者]  2020-01-14 00:00:00  互联网

题文

已知：⊙O是正三角形ABC的外接圆．
（1）如图1，若PC为⊙O的直径，连接AP，BP，求证：AP+BP=PC；
（2）如图2，若点P是弧AB上任一点，连接AP，B

P，那么结论AP+BP=PC还成立吗？试证明你的结论．
题型：解答题  难度：中档

答案



证明：（1）∵△ABC为正三角形，
∴∠APC=∠BPC=60°，
∵PC为⊙O的直径，
∴∠PAC=∠PBC=90°，
∴AP=BP=
1
2
PC，
∴AP+BP=PC；

（2）成立．
在PC上取一点D，使PD=PA，连接AD；
∵∠APD=60°，
∴△APD为等边三角形，
∴AD=PD；
∵∠PAD=∠BAC=60°，
∴∠PAB=∠DAC，
∵AP=AD，AB=AC，
∴△APB≌△ADC，
∴PB=DC，
∴PA+PB=PD+DC=PC．

据专家权威分析，试题“已知：⊙O是正三角形ABC的外接圆．（1）如图1，若PC为⊙O的直径，连接A..”主要考查你对  三角形的内心、外心、中心、重心，等边三角形，三角形全等的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的内心、外心、中心、重心等边三角形三角形全等的判定

考点名称：三角形的内心、外心、中心、重心

  • 三角形的四心定义：
    1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
    内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。
    2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
    外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
    3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
    4、重心：重心是三角形三边中线的交点。

  • 三角形的外心的性质：
    1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心；
    2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合；
    3.锐角三角形的外心在三角形内；
    钝角三角形的外心在三角形外；
    直角三角形的外心与斜边的中点重合。

    在△ABC中
    4.OA=OB=OC=R
    5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA
    6.S△ABC=abc/4R

    三角形的内心的性质：
    1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心
    2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r
    3.r=2S/(a+b+c)
    4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．
    5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2
    6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)

    三角形的垂心的性质:
    1.锐角三角形的垂心在三角形内；
    直角三角形的垂心在直角顶点上；
    钝角三角形的垂心在三角形外。
    2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或
    者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。

    例如在△ABC中
    3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。
    4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO?OD=BO?OE=CO?OF
    5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
    6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。
    7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP?tanB+ AC/AQ?tanC=tanA+tanB+tanC
    8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
    9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。
    10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
    11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。
    12.西姆松(Simson)定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上
    13.设锐角△ABC内有一点P，那么P是垂心的充分必要条件是PB?PC?BC+PB?PA?AB+PA?PC?AC=AB?BC?CA。
    14.设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为△AEF，△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3。
    15.三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。

    三角形的重心的性质:
    1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
    2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
    3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
    4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；
    空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3  纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3  竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3
    5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
    6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

    三角形旁心的性质:
    1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
    2、每个三角形都有三个旁心。
    3、旁心到三边的距离相等。
    三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。

考点名称：等边三角形

  • 等边三角形定义：
    三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
    如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
    1.三边长度相等；
    2.三个内角度数均为60度；
    3.一个内角为60度的等腰三角形。

  • 性质：
    ①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
    ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
    ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
    ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
    ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

  • 判定方法：
    ①三边相等的三角形是等边三角形（定义）
    ②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
    ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
    ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
    说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。

    等边三角形的性质与判定理解：
    首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
    其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

    等比三角形的尺规做法：
    可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。

考点名称：三角形全等的判定

  • 三角形全等判定定理：
    1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了
    三角形具有稳定性的原因。
    2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
    3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
    4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)
    5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) 所以：SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。
    注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

  • 三角形全等的判定公理及推论：
    (1)“边角边”简称“SAS”
    (2)“角边角”简称“ASA”
    (3)“边边边”简称“SSS”
    (4)“角角边”简称“AAS”
    注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

    要验证全等三角形，不需验证所有边及所有角也对应地相同。
    以下判定，是由三个对应的部分组成，即全等三角形可透过以下定义来判定：
    ①S.S.S. (边、边、边)：
    各三角形的三条边的长度都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
    ②S.A.S. (边、角、边)：
    各三角形的其中两条边的长度都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
    ③A.S.A. (角、边、角)：
    各三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
    ④A.A.S. (角、角、边)：
    各三角形的其中两个角都对应地相等，且没有被两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
    ⑤R.H.S. / H.L. (直角、斜边、边)：
    各三角形的直角、斜边及另外一条边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。 但并非运用任何三个相等的部分便能判定三角形是否全等。以下的判定同样是运用两个三角形的三个相等的部分，但不能判定全等三角形：
    ⑥A.A.A. (角、角、角)：
    各三角形的任何三个角都对应地相等，但这并不能判定全等三角形，但则可判定相似三角形。
    ⑦A.S.S. (角、边、边)：
    各三角形的其中一个角都相等，且其余的两条边(没有夹着该角)，但这并不能判定全等三角形，除非是直角三角形。
    但若是直角三角形的话，应以R.H.S.来判定。

  • 解题技巧：
    一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。
    因此我们可以来采取逆思维的方式。
    来想要证全等，则需要什么条件:要证某某边等于某某边，那么首先要证明含有那两个边的三角形全等。
    然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等。
    有时还需要画辅助线帮助解题。常用的辅助线有：倍长中线，截长补短等。
    分析完毕以后要注意书写格式，在全等三角形中，如果格式不写好那么就容易出现看漏的现象。
http://www.00-edu.com/ks/shuxue/2/159/2020-01-14/1969523.html十二生肖
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