题文
已知抛物线与轴交于点A(,0), (1)直接写出抛物线与轴的另一个交点B的坐标; (2)若直线过抛物线顶点M及抛物线与轴的交点(0,3). ① 求直线MC所对应的函数关系式; ② 若直线MC与轴的交点为,在抛物线上是否存在点,使得△NPC是以NC为直角边的直角三角形?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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题型:解答题 难度:中档
答案
解:(1)B(1,0)................(3分) (2)①∵点B(1,0),C(0,3)在抛物线上,抛物线与轴交于点C(0,3). ∴ 解得∴抛物线所对应的函数关系式为.....(5分) ∴M(,4)设直线MC所对应的函数关系式为, ∴,解得,∴直线MC所对应的函数关系式为.....(7分) ②假设在抛物线上存在异于点C的点P,使得△NPC是以NC为直角边的直角三角形. ①若PN为△NPC的另一条直角边,如图1. 易得直线MC与x轴的交点坐标为N(3,0). ∵OC=ON,,∴, 在轴上取点D(0,),连结ND交抛物线于点P. ∵ON=OD,∴.∴. 设直线ND的函数表达式为. 可得,解得 ∴直线ND的函数表达式为.....(9分) 设点P(x,),并将它代入抛物线的函数表达式,得 即.解得, ∴, ∴满足条件的点为,),....(10分) ,). ②若PC是另一条直角边,如图2.
∵点A是抛物线与x轴的另一交点, ∴点A的坐标为(,0). 连结AC.∵OA=OC,∴.又, ∴,∴点A就是所求的点(,0). ....(12分) [或:求出直线AC的函数表达式为.设点P(x,),代入抛物线 的函数表达式,得,即.解得,. ∴,,∴点,,,(舍去).] 综上可知,在抛物线上存在满足条件的点有3个,分别,),,),.....(13分) (1)根据已知抛物线的解析式,可得到抛物线的对称轴方程,从而根据A点坐标求出点B的坐标. (2)根据A、B、C三点坐标,即可求得抛物线的解析式和它的顶点坐标; ①已经求得M、C的坐标,利用待定系数法求解即可; ②假设存在符合条件的P点,分两种情况考虑: 1)以N为直角顶点,即PN为另一条直角边; 易求得点N的坐标,根据C、N点的坐标可知∠CNO=45°,若∠PNC=90°,可在y轴截取OD=ON,易得点D的坐标,即可求出直线DN的解析式,联立抛物线的解析式即可得到点P的坐标; 2)以C为直角顶点,即PC为另一条直角边; 根据A、C的纵坐标知:∠CAN=45°,此时∠ACN=90°,那么点A即为所求的P点; 综合上述两种情况,即可得到符合条件的P点坐标. |
据专家权威分析,试题“已知抛物线与轴交于点A(,0),(1)直接写出抛物线与轴的另一个交点..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的定义 考点名称:二次函数的图像 考点名称:二次函数的最大值和最小值 考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
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