图是一种碰撞装置的俯视图,其左边Q是一个接收器,它的下端装有光滑轨道(图中未画出),左端与固定在墙壁上的轻质弹簧相连;右边P是一固定的发射器,它可根据需要瞄准接收器的

◎ 题目

图是一种碰撞装置的俯视图,其左边Q是一个接收器,它的下端装有光滑轨道(图中未画出),左端与固定在墙壁上的轻质弹簧相连;右边P是一固定的发射器,它可根据需要瞄准接收器的接收口,将质量m=0.10kg的珠子以v1=50m/s的速度沿水平方向射入接收器.已知接收器的质量M=0.40kg,弹簧处于自然长度时,接收器右边缘与直线MN对齐.若接收器右边缘停止在MN线上或向右运动到达MN线时,都有一粒珠子打入接收器,并在极短时间内与接收器具有相同的速度.
(1)求第一粒珠子打入接收器之后,弹簧被压缩至最短的过程中(在弹簧的弹性限度内),当弹簧的弹性势能达到其能达到最大值的一半时接收器的速度大小;
(2)试分析当第n粒珠子射入接收器中刚与接收器相对静止时,接收器速度的大小;
(3)已知与接收器相连接弹簧的劲度系数k=400N/m,发射器左端与MN线的水平距离s=0.25m,求发射器至少应发射几粒珠子后停止发射,方能使接收器沿直线往复运动而不会碰到发射器.(注:轻质弹簧的弹性势能可按EF=
1
2
kx2
进行计算,其中k为弹簧的劲度系数,x为弹簧的形变量.)
魔方格

◎ 答案

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(1)设第一粒珠子打入接收器内刚与接收器相对静止时,接收器速度的大小为v1
根据动量守恒定律  mv0=(M+m)v1
弹簧的最大弹性势能Epm=
1
2
(M+m)
v21

设接收器运动中弹簧弹性势能等于最大值一半时,接收器的速度为vx
由机械能守恒定律  Epm=
1
2
(M+m)
v2x
+
Epm
2

联立①②③,解得 vx=5

2
=7.1m/s

(2)第1粒珠子打入接收器相对静止时,接收器速度v1=
mv0
M+m

设第2粒珠子打入接收器相对静止时,接收器速度为v2
同理  mv0-(M+m)v1=(M+2m)v2,解得 v2=0     
设第3粒珠子打入接收器相对静止时,接收器速度为v3
同理 mv0=(M+3m)v3,解得 v3=
mv0
M+3m
     
设第4粒珠子打入接收器相对静止时,接收器速度为v4
同理 mv0-(M+3m)v3=(M+4m)v4,解得v4=0
可见,当第奇数个珠子打入接收器相对静止时,接收器的速度
v=
mv0
M+nm
  其中n=1,3,5          
当第偶数个珠子打入接收器相对静止时,接收器的速度 v=0     
(3)若接收器往复运动过程中不碰到发射器,则接收器最大位移x≤s 
根据能量守恒定律 
1
2
kx2=
1
2
(M+nm)
v2奇
      
代入数据解得n≥6           
要使接收器在停止射击后能往复运动,则发射的珠子数n必为奇数,所以至少应发射7粒珠子后停止发射,使接收器沿直线往复运动而不碰到发射器.
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