◎ 题目

如图所示，建筑工地常用的一种“深穴打夯机”工作时，电动机带动两个紧压夯杆的滚轮匀速转动将夯从深为h的坑中提到地面，两个滚轮彼此分开，夯杆被释放，最后夯在自身重力作用下，落回深坑，夯实坑底，然后，两个滚轮再次压紧夯杆，夯再次被提到地面，如此周而复始．已知两个滚轮的半径R=0.2m，转动的角速度ω=20rad/s，每个滚轮对夯杆的正压力FN=2×104N，滚轮与夯杆间的动摩擦因数μ=0.3，夯的总质量m=1×103kg，坑深h=6.4m，假定在打夯的过程中每次坑的深度变化不大，当夯的底端升到坑口时，滚轮将夯杆释放，不计空气阻力，取g=10m/s2，求： （1）夯杆被滚轮压紧加速上升至与滚轮速度相等时，此时夯的底端离坑底的高度h1； （2）夯的运动周期T； （3）每个周期中，提升夯的过程中电动机所做的功W．

◎ 答案

（1）滚轮线速度v=ωR=4.0m/s…① 夯加速上升过程中，(2μFN-mg)h1= 1 2 mv2…② 得，h1= mv2 2(2μFN-mg) =4.0m…③ （2）设夯加速时间为t1，则由动量定理得    （2μFN-mg）t1=mv…④ 得t1= mv 2μFN-mg =2.0s…⑤ 夯匀速上升时间t2， t2= h-h1 v =0.6s…⑥ 夯离开坑口上升到最大高度时间t3= v g =0.4s…⑦ 夯离开坑口上升的最大高度h2= v2 2g =0.8m…⑧ 夯从最高点自由下落到坑底时间t4= 2(h+h2) g =1.2s…⑨ 夯的运动周期T=t1+t2+t3+t4=4.2s…⑩ （3）夯加速上升过程中，夯杆与滚轮摩擦产生的热量Q=2μFN(v- v 2 )t1=4.8×104J…（11） 夯从坑底提升到地面，夯的机械能增加量△E= 1 2 mv2+mgh=7.2×104J…（12） 每个周期中，提升夯的过程中电动机所做的功W=Q+△E=1.2×105J…（13） 答： （1）夯杆被滚轮压紧加速上升至与滚轮速度相等时，此时夯的底端离坑底的高度h1=4m． （2）夯的运动周期T=4.2s； （3）每个周期中，提升夯的过程中电动机所做的功W=1.2×105J．

◎ 解析

“略”