一个圆柱形的竖直的井里存有一定量的水,井的侧面和底部是密闭的,在井中固定地插着一根两端开口的薄壁圆管,管和井共轴,管下端未触及井底.在圆管内有一不漏气的活塞,它可

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◎ 题目

一个圆柱形的竖直的井里存有一定量的水,井的侧面和底部是密闭的,在井中固定地插着一根两端开口的薄壁圆管,管和井共轴,管下端未触及井底.在圆管内有一不漏气的活塞,它可沿圆管上下滑动.开始时,管内外水面相齐,且活塞恰好接触水面,如图所示.现用卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力F,使活塞缓慢向上移动,已知管筒半径r=0.100m,井的半径R=2r,水的密度ρ=1.00×103kg/m3,大气压ρ0=1.00×105Pa.求活塞上升H=9.00m的过程中拉力F所做的功.(井和管在水面以上及水面以下的部分都足够长.不计活塞质量,不计摩擦,重力加速度g=10m/s2.)
魔方格

◎ 答案


从开始提升到活塞升至内外水面高度差为h0=
P0
ρg
=10m
的过程中,活塞始终与管内液体接触.(再提升活塞时,活塞和水面之间将出现真空,另行讨论.)设活塞上升距离为h1,管外液面下降距离为h2,有:h0=h1+h2
因液体体积不变,有:h2=h1 (
πr2
πR2r2
)=
1
3
h1
 
得:h1=
3
4
h0=
3
4
×10m=7.5m
  
题给H=9m>h1,由此可知确实有活塞下面是真空的一段过程.
活塞移动距离从零到h1的过程中,对于水和活塞这个整体,其机械能的增量应等于除重力外其他力所做的功.因为始终无动能,所以机械能的增量也就等于重力势能增量,即
  △E=ρ(πr2h1)g
h0
2
 
其它力有管内、外的大气压力和拉力F.因为液体不可压缩,所以管内、外大气压力做的总功P0π(R2-r2h2P0πr2h1=0,故外力做功就只是拉力F做的功,由功能关系知
        W1=△E         
W1=ρ(πr2)g
3
8
h20
=
3
8
πr2
P20
ρg
=1.18×104J

活塞移动距离从h1到H的过程中,液面不变,F是恒力F=πr2P0,做功
w2=F(H-h1) =πr2
P
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