◎ 题目

所谓“水流星”表演时，就是用绳系着装有水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，而水不洒落．如果在表演“水流星”节目时，栓杯子的绳长为L，其最大承受力是杯子和杯内水的重量的8倍，要使绳子不断裂，节目表演成功，杯子通过最高点时速度的取值范围为多少？

◎ 答案

杯子在最低点时，进行受力分析如图 ． 设杯子在最低点时的瞬时速度为v2，杯子和杯内的水的总质量为m ∴T-mg= mv2 L   即T=mg+ mv2 L ① 又0≤T≤8mg     ② ∴由①②式可以解得 1 2 mv2≤ 7 2 mgL     ③ 在杯子的整个运动过程中，只有重力做功（绳子的拉力的方向始终与运动的方向垂直，所以不做功，空气阻力忽略不计），机械能守恒． 设杯子在最高点时的瞬时速度为u ∴ 1 2 mu2+2mgL= 1 2 mv2    ④ 由③④式可以解得u≤ 3gL 又要使杯子和杯内的水能在竖直平面内做完整的圆周运动，在最高点时，必须满足至少杯子和杯内的水的重力全部用来提供向心力． 即mg≤ mu2 L ∴u≥ gL 综上所述 gL ≤u≤ 3gL 答：杯子通过最高点时速度的取值范围为 gL ≤u≤ 3gL ．

◎ 解析