经过观察,科学家在宇宙中发现了许多孤立的双星系统.若双星系统中每个星体的质量都是M,两者相距为L(远大于星体半径),它们正绕两者连线的中点做圆周运动.①试计算双星系统中

◎ 题目

经过观察,科学家在宇宙中发现了许多孤立的双星系统.若双星系统中每个星体的质量都是M,两者相距为L(远大于星体半径),它们正绕两者连线的中点做圆周运动.
①试计算双星系统中的运动周期T计算
②若实际观察到的运动周期为T观测,且T观测:T计算=1:

N+1
(N>1),为了解释T观测与T计算的不同,目前理论认为,宇宙中可能存在观察不到的暗物质,假定有一部分暗物质对双星运动产生影响,该部分物质的作用等效于暗物质集中在双星的连线的中点,试证明暗物质的质量M′与星体的质量M之比为 M′:M=N:4.

◎ 答案

(1)以双星系统中任一星球为研究对象,根据牛顿第二定律得
GM2
L2
=M
4π2
T2
?
L
2

得到 T=

2π2L3
GM

(2)设暗物质的总质量为m,由牛顿第二定律得
GM2
L2
+
GMM′
(
L
2
)
2
=M
4π2
T2测
?
L
2

解得:T=

2π2L3
GM+4GM′

故:
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T
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