某课外科技小组长期进行天文观测,发现某行星周围有众多小卫星,这些小卫星靠近行虽且分布相对均匀,经查对相关资料,该行星的质量为M.现假设所有卫星绕该行星的运动都是匀速

◎ 题目

某课外科技小组长期进行天文观测,发现某行星周围有众多小卫星,这些小卫星靠近行虽且分布相对均匀,经查对相关资料,该行星的质量为M.现假设所有卫星绕该行星的运动都是匀速圆周运动,已知万有引力常量为G.
(1)测得离行星最近的一颗卫星的运动轨道半径为R1,若忽略其它小卫星对该卫星的影响,求该卫星的运行速度V1
(2)在进一步的观测中,发现离行觅很远处还有一颗卫星,其运动轨道半径为R2,周期为T2试估算靠近行星周围众多小卫星的总质量m

◎ 答案

(1)设离行星最近的一颗卫星的质量为m1,根据万有引力提供向心力有:
GMm1
R21
=
m1v21
R1

解得:v1=

GM
R1

(2)由于靠近行星周围的众多卫星分布均匀,可以把行星及靠近行星的小卫星看作一星体,其质量中心在行星的中心,
设离行星很远的卫星质量为m2,根据万有引力提供向心力则有:
G(M+m)m2
R22
=
m2R2?2
T22

解得:m=
2R32
GT22
-M
答:(1)该卫星的运行速度是

GM
R1

(2)靠近行星周围众多小卫星的总质量是
2R32
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