题文

k、a、b为正整数，k被a2、b2整除所得的商分别为m，m+116． （1）若a，b互质，证明a2-b2与a2、b2都互质； （2）当a，b互质时，求k的值． （3）若a，b的最大公约数为5，求k的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）设s为a2-b2与a2的最大公约数， 则a2-b2=su，a2=sv，u，v是正整数， ∴a2-（a2-b2）=b2=s（v-u），可见s是b2的约数， ∵a，b互质， ∴a2，b2互质，可见s=1． 即a2-b2与a2互质，同理可证a2-b2与b2互质； （2）由题知：ma2=（m+116）b2， m（a2-b2）=116b2， ∴（a2-b2）|116b2， ∵（a2-b2，b2）=（a2，b2）=1， ∵（a2-b2）|116， 所以a2-b2是116的约数，116=2×2×29， a2-b2=（a-b）（a+b）， 而a-b和a+b同奇偶性，且a，b互质， ∴a2-b2要么是4的倍数，要么是一个大于3的奇数， ∴（a-b）（a+b）=29 或（a-b）（a+b）=116， ∴a-b=1，a+b=29或a-b=1，a+b=116或a-b=2，a+b=58或a-b=4，a+b=29， 解得只有一组解符合条件， a=15，b=14， ∴m（152-142）=116×142， ∴m=4×142=784， ∴k=784×152=176400； （3）设a=5x，b=5y，即x，y的最大公约数为1， 则m（a2-b2）=116b2， ∴即m（25x2-25y2）=116（25y）2， ∴m（x2-y2）=116（y）2， ∵x，y互质，则有：m=24×72， ∴x=15，y=14， a=75，b=70，m=784， k=784×752=4410000．

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有理数定义及分类有理数除法

考点名称：有理数定义及分类

• 有理数的定义：
  有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。

• 有理数的分类：
  （1）按有理数的定义：
                                正整数 
                   整数{     零 
                                负整数
  有理数{     
                              正分数 
                  分数{
                              负分数
   
  
  （2）按有理数的性质分类: 
                             正整数  
                 正数{ 
                             正分数
  有理数{  零
                             负整数 
                 负数{
                             负分数

考点名称：有理数除法

• 有理数除法定义：
  已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。

• 有理数的除法法则：
  （1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；
  （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
  （3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。

• 有理数除法注意：
  ①0不能做除数；
  ②有理数的除法和乘法是互逆运算；
  ③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。