题文

已知关于x的一元二次方程x2-（R+r）x+ 1 4 d2=0没有实数根，其中R，r分别为两圆半径，d为两圆的圆心距，你能根据条件确定两圆的位置关系吗？请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

两圆外离，理由如下： ∵一元二次方程x2-（R+r）x+ 1 4 d2=0没有实数根， ∴b2-4ac＜0 即：[-（R+r）]2-4× 1 4 d2＜0 ∴（R+r）2-d2＜0 ∴（R+r+d）（R+r-d）＜0 ∵R+r+d＞0 ∴R+r-d＜0 即d＞R+r ∴两圆外离．

据专家权威分析，试题“已知关于x的一元二次方程x2-（R+r）x+14d2=0没有实数根，其中R，r分..”主要考查你对  一元二次方程根的判别式，圆和圆的位置关系（圆和圆的相离，圆与圆的相交，圆与圆的相切）  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根的判别式圆和圆的位置关系（圆和圆的相离，圆与圆的相交，圆与圆的相切）

考点名称：一元二次方程根的判别式

• 根的判别式：
  一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac。
  定理1  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
  定理2  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
  定理3  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。
  
  根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
  定理4  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
  定理5  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
  定理6  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
  注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b²-4ac。
  （2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
  （3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b²-4ac≥0切勿丢掉等号。
  （4）根的判别式b²-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。

• 根的判别式有以下应用：
  ①不解一元二次方程，判断根的情况。
  ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
  ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
  ④应用根的判别式判断三角形的形状。
  ⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
  ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
  ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
  ⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。

考点名称：圆和圆的位置关系（圆和圆的相离，圆与圆的相交，圆与圆的相切）

• 圆和圆的位置关系：
  如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。
  如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。
  如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。
  
  圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。

• 圆和圆位置关系的性质与判定：
  设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么
  两圆外离d>R+r（没有交点）
  两圆外切d=R+r （有一个交点，叫切点）
  两圆相交R-r<d<R+r（R≥r）(有两个交点)
  两圆内切d=R-r（R>r） (有一个交点,叫切点)
  两圆内含d<R-r（R>r）(没有交点)
  
  两圆相切的性质：
  （1）连心线：两圆圆心的连线。
  （2）两圆相切的性质：相切两圆的连心线必过切点，即两圆圆心、切点三点在一条直线上。