题文

已知方程x3-（1+2·3m）x2+（5n+2·3m）x-5n=0。 （1）若n=m=0，求方程的根； （2）找出一组正整数n，m，使得方程的三个根均为整数； （3）证明：只有一组正整数n，m，使得方程的三个根均为整数。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）若n=m=0，则方程化为x3-3x2+3x-1=0， 即（x-1）3=0， 所以x1=x2=x3=1； （2）方程化为（x-1）（x2-2·3mx+5n）=0， 设方程x2-2·3mx+5n=0的两个解为x1，x2 则x1，2=， 当m=n=1时，方程的三个根均为整数； （3）设9m-5n=k2（其中k为整数） 所以9m-k2=5n，即（3m-k）（3m+k）=5n， 不妨设（其中i+j=n，i，j为非负整数）， 因此：2·3m=5j（5j-i+1）， 又∵5不能整除2·3m， ∴i=0， 因此有2·43m=5n+1，要使三根均为整数，则只有一组正整数m=n=1， 此时x1=x2=1，x3=5。

据专家权威分析，试题“已知方程x3-（1+2·3m）x2+（5n+2·3m）x-5n=0。（1）若n=m=0，求方程的根..”主要考查你对  二元多次（二次以上）方程（组）  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二元多次（二次以上）方程（组）

考点名称：二元多次（二次以上）方程（组）

• 定义：二元二次方程组即至少有一个二元二次方程的方程组，另一个是不高于二次的二元整式方程
  二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法。
  二元二次方程组的一般解法是代入法：
  在（1）中先将x看作常量，把（1）看作关于x的一元二次方程，用y表示x后，代入（2）中，得到关于y的方程。因为在解（1）的结果中，可能得到y是x的双值函数，所以可能得到两个方程，也可能得到无理方程，无理方程有理化后，最高可能得到四次方程，但仍有代数解。