题文

求方程x2+6xy-7y2=2009的正整数解．

题型：解答题  难度：中档

答案

∵方程x2+6xy-7y2=2009， ∴（x-y）（x+7y）=2009， ∵2009=7×7×41， ∴当x-y=1，7，41，49，287，2009时，相应的有x+7y=2009，287，49，41，7，1， ∵x，y均是正整数，则x-y＜x+7y， 故上述六种关系中，只有三种可能成立， （1） x-y=1 x+7y=2009 ， （2） x-y=7 x+7y=287 ， （3） x-y=41 x+7y=49 ， 解得（x，y）=（252，251），（42，35），（42，1）此即为方程的全部正整数解．

据专家权威分析，试题“求方程x2+6xy-7y2=2009的正整数解．-数学-”主要考查你对  二元多次（二次以上）方程（组）  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二元多次（二次以上）方程（组）

考点名称：二元多次（二次以上）方程（组）

• 定义：二元二次方程组即至少有一个二元二次方程的方程组，另一个是不高于二次的二元整式方程
  二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法。
  二元二次方程组的一般解法是代入法：
  在（1）中先将x看作常量，把（1）看作关于x的一元二次方程，用y表示x后，代入（2）中，得到关于y的方程。因为在解（1）的结果中，可能得到y是x的双值函数，所以可能得到两个方程，也可能得到无理方程，无理方程有理化后，最高可能得到四次方程，但仍有代数解。