题文

如图所示，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分 规定：线上各点不属于任何部分，点动点P若在某个部分时，连接PA、PB、构成∠PAC，∠APB、∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线组成的角是0°角）

（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD； （2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立，若不成立，请写出∠APB、∠PAC、∠PBD之间存在的一个关系式．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明：过P作PQ∥AC，则∠APQ=∠PAC．             ∵AC∥BD， ∴PQ∥BD． ∴∠BPQ=∠PBD．     ∴∠APQ+∠BPQ=∠PAC+∠PBD． 即∠APB=∠PAC+∠PBD．                       （2）解：当动点P在第②部分时，结论∠APB=∠PAC+∠PBD不成立， 过P作PQ∥AC， ∵AC∥BD， ∴AC∥PQ∥BD， ∴∠APQ+∠PAC=180°，∠QPB+∠PBD=180°， ∴∠PAC+∠APB+∠PBD=360°， 即其存在的关系式是∠PAC+∠PBD=360°﹣∠APB．

据专家权威分析，试题“如图所示，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、..”主要考查你对  平行线的性质，平行线的公理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

平行线的性质，平行线的公理

考点名称：平行线的性质，平行线的公理

• 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
  推论（平行线的传递性）：平行同一直线的两直线平行。
  ∵a∥c，c ∥b
  ∴a∥b。

  平行线的性质：
  1. 两条平行被第三条直线所截，同位角相等。
  简单说成：两直线平行，同位角相等。
  2. 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
  简单说成：两直线平行，内错角相等。
  3 . 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
  简单说成：两直线平行，同旁内角互补。

• 平行线的性质公理注意：
  ①注意条件“经过直线外一点”，若经过直线上一点作已知直线的平行线，就与已知直线重合了；
  ②平行公理体现了平行线的存在性和唯一性；
  ③平行公理的推论体现了平行线的传递性。
  ④在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论。这是平行线特有的性质。不要一提同位角或内错角就认为他们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，他们是不成立的。