题文

解答题： （1）设互为补角的两个角的差为60°，求较小角的余角． （2）设一个角的补角是这个角的余角的5倍，求这个角的度数． （3）如图，∠1=∠2，∠EMB=55°，试求∠DNF的度数． （4）如图，△ABC三个顶点分别表示三个小区，AB，BC，AC是连接三个小区的已有自来水管道，某工程队现在要△ABC在内部（包括边上）建一个自来水公司M，M到AB，BC，AC的距离和计为L，已知AB=4，BC=5，AC=6，问自来水供应M在哪个位置，工程对才有最大的经济效益（即L最小）

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）30° 设较小的角为x，则较大的角为x+60°， 所以x+x+60°=180°， 解得x=60°， 所以较小的角的余角为90°-60°=30°． （2）67.5° 设这个角为x， 所以180°-x=5（90°-x）， 解得x=67.5°． （3）125° ∵∠1=∠2， ∴AB∥CD， 又∵∠EMB=55°， ∴∠1=∠2=∠EMB=55° ∴∠DNF=180°-∠2=125°． （4）由题意可知，点M为△ABC内切圆的圆心时，L最小， 在△ABC中，cosB= AB2+BC2-AC2 2×AB×BC = 1 8 ， ∴sinB= 1- 1 82 = 3 7 8 ， ∴△ABC的面积为 1 2 ×AB×BC×sinB= 15 7 4 ， 设△ABC内切圆的半径为R，则△ABC的面积为 1 2 ×(AB+BC+AC)×R= 15 7 4 ， 解得R= 7 2 ．

据专家权威分析，试题“解答题：（1）设互为补角的两个角的差为60°，求较小角的余角．（2）设一..”主要考查你对  三角形的内心、外心、中心、重心  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的内心、外心、中心、重心

考点名称：三角形的内心、外心、中心、重心

• 三角形的四心定义：
  1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
  内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。