题文

如图所示，已知△ABC的内心为I，外心为O． （1）试找出∠A与∠BOC，∠A与∠BIC的数量关系． （2）由（1）题的结论写出∠BOC与∠BIC的关系．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）如本题图，∠A为⊙O中 BC 所对的圆周角，由圆周角定理得∠A= 1 2 ∠BOC． ∵I是△ABC的内心， ∴∠IBC= 1 2 ∠ABC，∠ICB= 1 2 ∠ACB． ∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A， ∠IBC+∠ICB+∠BIC=180°， ∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-（ 1 2 ∠ABC+ 1 2 ∠ACB） =180°- 1 2 （180°-∠A）=90°+ 1 2 ∠A． （2）由（1）得∠BIC=90°+ 1 2 ∠A=90°+ 1 2 × 1 2 ∠BOC=90°+ 1 4 ∠BOC， 即∠BOC和∠BIC的关系是∠BIC=90°+ 1 4 ∠BOC．

据专家权威分析，试题“如图所示，已知△ABC的内心为I，外心为O．（1）试找出∠A与∠BOC，∠A与..”主要考查你对  三角形的内心、外心、中心、重心  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的内心、外心、中心、重心

考点名称：三角形的内心、外心、中心、重心

• 三角形的四心定义：
  1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
  内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。
  2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
  外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
  3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
  4、重心：重心是三角形三边中线的交点。

• 三角形的外心的性质：
  1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心；
  2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合；
  3.锐角三角形的外心在三角形内；
  钝角三角形的外心在三角形外；
  直角三角形的外心与斜边的中点重合。
  
  在△ABC中
  4.OA=OB=OC=R
  5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA
  6.S△ABC=abc/4R
  
  三角形的内心的性质：
  1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心
  2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r
  3.r=2S/(a+b+c)
  4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．
  5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2
  6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)