如图1,在正方形ABCD中,点E、F分别为边BC、CD的中点,AF、DE相交于点G,则可得结论:①AF=DE,②AF⊥DE(不须证明).(1)如图②,若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点,但满足C-数学-00教育-零零教育信息网
题文
如图1,在正方形ABCD中,点E、F分别为边BC、CD的中点,AF、DE相交于点G,则可得结论:①AF=DE,②AF⊥DE(不须证明). (1)如图②,若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点,但满足CE=DF,则上面的结论①、②是否仍然成立;(请直接回答“成立”或“不成立”) (2)如图③,若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上,且CE=DF,此时上面的结论①、②是否仍然成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由. (3)如图④,在(2)的基础上,连接AE和EF,若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点,请先判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种,并写出证明过程.
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题型:解答题 难度:中档
答案
(1)∵DF=CE,AD=DC,且∠ADF=∠DCE, ∴△DEC≌△AFD; ∴结论①、②成立(1分)
(2)结论①、②仍然成立.理由为: ∵四边形ABCD为正方形, ∴AD=DC=CB且∠ADC=∠DCB=90°, 在Rt△ADF和Rt△ECD中 , ∴Rt△ADF≌Rt△ECD(SAS),(3分) ∴AF=DE, ∴∠DAF=∠CDE, ∵∠ADE+∠CDE=90°, ∴∠ADE+∠DAF=90°, ∴∠AGD=90°, ∴AF⊥DE;(5分)
(3)结论:四边形MNPQ是正方形(6分) 证明:∵AM=ME,AQ=QD, ∴MQ∥DE且MQ=DE, 同理可证:PN∥DE,PN=DE;MN∥AF,MN=AF;PQ∥AF,PQ=AF; ∵AF=DE, ∴MN=NP=PQ=QM, ∴四边形MNPQ是菱形,(8分) 又∵AF⊥DE, ∴∠MQP=90°, ∴四边形MNPQ是正方形.(10分) |
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考点名称:直角三角形的性质及判定
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