题文

已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为点E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF、AF相交于点P、M.   (1)求证：AB= CD； (2)若∠BAC =2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．

题型：证明题  难度：中档

答案

(1)证明：∵AF平分∠BAC， ∴∠CAD= ∠DAB=∠BAC． ∵点D与点A关于点E对称∴E为AD中点． BC⊥AD， ∴BC为AD的中垂线， ∴AC= CD ∵在Rt△ACE和Rt△ABE中，∠CAD+∠ACE=∠DAB+ ∠ABE =．∠CAD= ∠DAB. ∴∠ACE= ∠ABE， ∴AC =AB， ∴AB= CD.   (2)∵∠BAC =2∠MPC， 又∵∠BAC =2∠CAD, ∴∠MPC=∠CAD． ∵AC= CD, ∴∠CAD=∠CDA, ∵∠MPC=∠CDA. ∴∠MPF=∠CDM， ∵AC =AB,AE⊥BC, ∴CE= BE， ∴AM为BC的中垂线， ∴CM=BM ∵EM⊥BC, ∴EM平分∠CMB，（等腰三角形三线合一） ∴∠CME=∠BME． ∴∠BME= ∠PMF,∠PMF=∠CME, ∴∠MCD= ∠F(三角形内角和)．

据专家权威分析，试题“已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为点E，点D与点A关于点E对称..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义 ，三角形的内角和定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定角平分线的定义 三角形的内角和定理

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。

考点名称：角平分线的定义

• 角的平分线的定义：
  一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

• 角平分线的性质：
  角平分线上的点，到角两边的距离相等
  定理：
  角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。垂直于两边为最短距离。角平分线能得到相同的两个角。三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
  逆定理：
  到角两边的距离相等的点在角平分线上。

考点名称：三角形的内角和定理

• 三角形的内角和定理及推论：
  三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
  推论：
  （1）直角三角形的两个锐角互余。
  （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
  （3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
  注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。