如图所示,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连接AC,过点D作DE⊥AC于E.(1)求证:AB=AC;(2)求证:DE为⊙O的切线.-数学

题文

如图所示,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连接AC,过点D作DE⊥AC于E.
(1)求证:AB=AC;(2)求证:DE为⊙O的切线.

题型:解答题  难度:中档

答案



证明:(1)连接AD;
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.
又∵DC=BD,
∴AD是BC的中垂线.
∴AB=AC.

(2)连接OD;
∵OA=OB,CD=BD,
∴OD∥AC.
∴∠0DE=∠CED.
又∵DE⊥AC,
∴∠CED=90°.
∴∠ODE=90°,即OD⊥DE.
∴DE是⊙O的切线.

据专家权威分析,试题“如图所示,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连..”主要考查你对  等腰三角形的性质,等腰三角形的判定,圆心角,圆周角,弧和弦,直线与圆的位置关系(直线与圆的相交,直线与圆的相切,直线与圆的相离)  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

等腰三角形的性质,等腰三角形的判定圆心角,圆周角,弧和弦直线与圆的位置关系(直线与圆的相交,直线与圆的相切,直线与圆的相离)

考点名称:等腰三角形的性质,等腰三角形的判定

  • 定义:
    有两条边相等的三角形,是等腰三角形,相等的两条边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角。

  • 等腰三角形的性质:
    1.等腰三角形的两个底角度数相等(简写成“等边对等角”)。
    2.等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高重合(简写成“等腰三角形的三线合一”)。
    3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等)。
    4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
    5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
    6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。
    7.等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴,等边三角形有三条对称轴。
    8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
    9.等腰三角形中腰大于高
    10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

  • 等腰三角形的判定:
    1.定义法:在同一三角形中,有两条边相等的三角形是等腰三角形。
    2.判定定理:在同一三角形中,有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称:等角对等边)。
    3.顶角的平分线,底边上的中分线,底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。

考点名称:圆心角,圆周角,弧和弦

  • 圆的定义:
    在同一平面内,到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆心。图形一周的长度,就是圆的周长。

    弧:
    圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。
    弧用符号“⌒”表示以A,B为端点的弧记作“”,读作“圆弧AB”或“弧AB”。
    优弧:大于半圆的弧(多用三个字母表示);
    劣弧:小于半圆的弧(多用两个字母表示)
    圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆。 
     弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等。
    推论:在同圆或等圆中,如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

    圆心角:
    顶点在圆心的角叫做圆心角。

    圆周角
    顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
    圆周角的顶点在圆上,它的两边为圆的两条弦。

  • 圆心角特征识别:
    ①顶点是圆心;
    ②两条边都与圆周相交。

    计算公式:
    ①L(弧长)=n/180Xπr(n为圆心角度数,以下同);
    ②S(扇形面积) = n/360Xπr2
    ③扇形圆心角n=(180L)/(πr)(度)。
    ④K=2Rsin(n/2) K=弦长;n=弦所对的圆心角,以度计。

    圆心角定理:
    圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
    理解:(定义)
    (1)等弧对等圆心角
    (2)把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的圆心角是1°的角.
    (3)因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等,所以整个圆也被等分成360份,这时,把每一份这样得到的弧叫做1°的弧.
    (4)圆心角的度数和它们对的弧的度数相等.
    推论:
    在同圆或等圆中,如果(1)两个圆心角,(2)两条弧,(3)两条弦(4)两条弦上的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等

    与圆周角关系:
    在同圆或等圆中,同弧或同弦所对的圆周角等于二分之一的圆心角。
    定理证明:分三种情况讨论,始终做直径COD,利用等腰三角形等腰底角相等,外角等于两内角之和来证明。

    圆周角定理推论
    圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。
    ①圆周角度数定理:圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
    ②同圆或等圆中,圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半。
    ③同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等圆周角所对的弧也相等。(不在同圆或等圆中其实也相等的。注:仅限这一条。)
    ④半圆(或直径)所对圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径。
    ⑤圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。
    ⑥在同圆或等圆中,圆周角相等<=>弧相等<=>弦相等。

考点名称:直线与圆的位置关系(直线与圆的相交,直线与圆的相切,直线与圆的相离)

  • 直线与圆的位置关系:
    直线与圆的位置关系有三种:直线与圆相交,直线与圆相切,直线与圆相离。
    (1)相交:直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点AB与⊙O相交,d<r;
    (2)相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切,d=r。
    (3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离,AB与圆O相离,d>r。(d为圆心到直线的距离)

  • 直线与圆的三种位置关系的判定与性质:
    (1)数量法:通过比较圆心O到直线距离d与圆半径的大小关系来判定,
    如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,则有:
    直线l与⊙O相交d<r;
    直线l与⊙O相切d=r;
    直线l与⊙O相离d>r;
    (2)公共点法:通过确定直线与圆的公共点个数来判定。
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