题文

如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h． 在图（1）中，点P是边BC的中点，此时h3=0，可得结论：h1+h2+h3=h． 在图（2），（3），（4），（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外． （1）请探究：图（2），（3），（4），（5）中，h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论）图②-⑤中的关系依次是： h1+h2+h3=h；h1-h2+h3=h；h1+h2+h3=h；h1+h2-h3=h； （2）证明图（2）所得结论； （3）证明图（4）所得结论； （4）（附加题2分）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60°，RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h1、h2、h3、h4，桥形的高为h，则h1、h2、h3、h4、h之间的关系为：h1+h3+h4= mh m-n ．图（4）与图（6）中的等式有何关系．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）图②-⑤中的关系依次是： h1+h2+h3=h；h1-h2+h3=h；h1+h2+h3=h；h1+h2-h3=h；（4分） （2）图②中，h1+h2+h3=h． 证法一： ∵h1=BPsin60°，h2=PCsin60°，h3=0，（6分） ∴h1+h2+h3=BPsin60°+PCsin60° =BCsin60° =ACsin60° =h．（8分） 证法二：连接AP，则S△APB+S△APC=S△ABC．（6分） ∴ 1 2 AB×h1+ 1 2 AC×h2= 1 2 BC×h． 又h3=0，AB=AC=BC， ∴h1+h2+h3=h；（8分） 证明：（3）图④中，h1+h2+h3=h． 过点P作RS∥BC与边AB、AC相交于R、S．（9分）在△ARS中，由图②中结论知：h1+h2+0=h-h3． ∴h1+h2+h3=h．（10分） 说明：（2）与（3）问，通过作辅助线，利用证全等三角形的方法类似给分； （4）由（3）可知：h1+h3+h4= mh m-n ．（11分） 让R、S延BR、CS延长线向上平移，当n=0时，图⑥变为图④，上面的等式就是图④中的等式，所以上面结论是图④中结论的推广．（12分）

据专家权威分析，试题“如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线..”主要考查你对  等边三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等边三角形

考点名称：等边三角形

• 等边三角形定义：
  三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
  如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
  1.三边长度相等；
  2.三个内角度数均为60度；
  3.一个内角为60度的等腰三角形。

• 性质：
  ①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
  ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
  ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
  ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
  ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

• 判定方法：
  ①三边相等的三角形是等边三角形（定义）
  ②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
  ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
  ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
  说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
  
  等边三角形的性质与判定理解：
  首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
  其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

  等比三角形的尺规做法：
  可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。