如图1,点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点,点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且它们的速度都为1cm/s,(1)连接AQ、CP交于点M,则在P、Q运动的过程中,∠CMQ变-数学
题文
如图1,点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点,点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且它们的速度都为1cm/s, (1)连接AQ、CP交于点M,则在P、Q运动的过程中,∠CMQ变化吗?若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数; (2)何时△PBQ是直角三角形? (3)如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动,直线AQ、CP交点为M,则∠CMQ变化吗?若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数. |
答案
(1)∠CMQ=60°不变. ∵等边三角形中,AB=AC,∠B=∠CAP=60° 又由条件得AP=BQ, ∴△ABQ≌△CAP(SAS), ∴∠BAQ=∠ACP, ∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°. (2)设时间为t,则AP=BQ=t,PB=4-t ①当∠PQB=90°时, ∵∠B=60°, ∴PB=2BQ,得4-t=2t,t=
②当∠BPQ=90°时, ∵∠B=60°, ∴BQ=2BP,得t=2(4-t),t=
∴当第
(3)∠CMQ=120°不变. ∵在等边三角形中,AB=AC,∠B=∠CAP=60° ∴∠PBC=∠ACQ=120°, 又由条件得BP=CQ, ∴△PBC≌△QCA(SAS) ∴∠BPC=∠MQC 又∵∠PCB=∠MCQ, ∴∠CMQ=∠PBC=180°-60°=120° |
据专家权威分析,试题“如图1,点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点,点P从..”主要考查你对 等边三角形 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
等边三角形
考点名称:等边三角形
- 等边三角形定义:
三条边都相等的三角形叫做等边三角形,“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
如果一个三角形满足下列任意一条,则它必满足另一条,三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形:
1.三边长度相等;
2.三个内角度数均为60度;
3.一个内角为60度的等腰三角形。 性质:
①等边三角形是锐角三角形,等边三角形的内角都相等,且均为60°。
②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合(三线合一)
③等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点,称为等边三角形的中心。(四心合一)
⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)判定方法:
①三边相等的三角形是等边三角形(定义)
②三个内角都相等(为60度)的三角形是等边三角形
③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。
等边三角形的性质与判定理解:
首先,明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形,也称正三角形。
其次,明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形,等腰三角形不一定是等边三角形。等比三角形的尺规做法:
可以利用尺规作图的方式画出正三角形,其作法相当简单:先用尺画出一条任意长度的线段(这条线段的长度决定等边三角形的边长),再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆,二圆汇交于二点,任选一点,和原来线段的两个端点画线段,则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。
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