题文

设a，b，c表示三角形三边的长，它们都是自然数，其中a≤b≤c，如果b=n（n是自然数），试问这样的三角形有多少个？

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）设b=n=1，这时b=1，因为a≤b≤c，所以a=1，c可取1，2，3．若c=1，则得到一个三边都为1的等边三角形；若c≥2，由于a+b=2，那么a+b不大于第三边c，这时不可能由a，b，c构成三角形，可见，当b=n=1时，满足条件的三角形只有一个． （2）设b=n=2，类似地可以列举各种情况如表． a  c   三角形个数  2  2，3  2  1  2  1 这时满足条件的三角形总数为：1+2=3． （3）设b=n=3，类似地可得表． a  c   三角形个数 3  3，4，5   3  2  3，4  2  1  3  1 这时满足条件的三角形总数为：1+2+3=6． 通过上面这些特例不难发现，当b=n时，满足条件的三角形总数为： 1+2+3+4+…+n= n(n+1) 2 ．

据专家权威分析，试题“设a，b，c表示三角形三边的长，它们都是自然数，其中a≤b≤c，如果..”主要考查你对  三角形的三边关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的三边关系

考点名称：三角形的三边关系

• 三角形的三边关系：
  在三角形中，任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边。
  设三角形三边为a,b,c
  则
  a+b>c
  a+c>b
  b+c>a
  a-b<c
  a-c<b
  b-c<a
  在直角三角形中，设a、b为直角边，c为斜边。
  则两直角边的平方和等于斜边平方。
  在等边三角形中，a=b=c
  在等腰三角形中， a,b为两腰，则a=b
  在三角形ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c的情况下，c²=a²+b²-2abcosc

• 三角形的三边关系定理及推论：
  （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
  推论：三角形的两边之差小于第三边。
  （2）三角形三边关系定理及推论的作用：
  ①判断三条已知线段能否组成三角形；
  ②当已知两边时，可确定第三边的范围；
  ③证明线段不等关系。