题文

将长度为2n（n为自然数，且n≥4）的一根铅丝折成各边的长均为整数的三角形，记（a，b，c）为三边的长分别为a，b，c，且满足a≤b≤c的一个三角形． （1）就n=4，5，6的情况，分别写出所有满足题意的（a，b，c）． （2）有人根据（1）中的结论，便猜想：当铅丝的长度为2n（n为自然数，且n≥4）时，对应（a，b，c）的个数一定是n-3，事实上这是一个不正确的猜想．请写出n=12时所有的（a，b，c），并回答（a，b，c）的个数． （3）试将n=12时所有满足题意的（a，b，c），按照至少两种不同的标准进行分类．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）当n=4时，有（2，3，3）； 当n=5时，有（2，4，4），（3，3，4）； 当n=6时，有（2，5，5），（3，4，5），（4，4，4）． （2）当n=12时，a+b+c=24，且a+b＞c，a≤b≤c，得8≤c≤11，即c=8，9，10，11， 故可得（a，b，c）共12组： A（2，11，11），B（3，10，11），C（4，9，11），D（5，8，11），E（6，7，11），F（4，10，10）， G（5，9，10），H（6，8，10），I（7，7，10），J（6，9，9），K（7，8，9），L（8，8，8）． （3）按边分类：①等腰三角形：A，F，I，J，L；②不等腰三角形：B，C，D，E，G，H，K． 按角分类：①锐角三角形：A，F，G，I，J，K，L；②直角三角形：H；③钝角三角形：B，C，D，E．

据专家权威分析，试题“将长度为2n（n为自然数，且n≥4）的一根铅丝折成各边的长均为整数的..”主要考查你对  三角形的三边关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的三边关系

考点名称：三角形的三边关系

• 三角形的三边关系：
  在三角形中，任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边。
  设三角形三边为a,b,c
  则
  a+b>c
  a+c>b
  b+c>a
  a-b<c
  a-c<b
  b-c<a
  在直角三角形中，设a、b为直角边，c为斜边。
  则两直角边的平方和等于斜边平方。
  在等边三角形中，a=b=c
  在等腰三角形中， a,b为两腰，则a=b
  在三角形ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c的情况下，c²=a²+b²-2abcosc

• 三角形的三边关系定理及推论：
  （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
  推论：三角形的两边之差小于第三边。
  （2）三角形三边关系定理及推论的作用：
  ①判断三条已知线段能否组成三角形；
  ②当已知两边时，可确定第三边的范围；
  ③证明线段不等关系。