题文

仪器箱按如图方式堆放（自下而上依次为第1层、第2层、……），受堆放条件限制，堆放时应符合下列条件：每层堆放仪器箱的个数an与层数n之间满足关系式an=n2-32n+247，1≤n<16为整数。 （1） 例如，当n=2时，a2=22-32×2+247=187，则a5=_____，a6=_____。 （2）第n层比第（n+1）层多堆放多少个仪器箱？（用含n的代数式表示）。 （3）如果不考虑仪器箱堆放所承受的压力，请根据题设条件判断仪器箱最多可以堆放几层？并说明理由。 （4）设每个仪器箱重54N（牛顿），每个仪器箱能承受的最大压力为160N，并且堆放时每个仪器箱承受的压力是均匀的。 ① 若仪器箱仅堆放第1、2两层，求第1层中每个仪器箱承受的平均压力。 ② 在确保仪器箱不被损坏的情况下，仪器箱最多可以堆放几层？为什么？

题型：探究题  难度：偏难

答案

解：（1）112； 91 （2）方法一： 即第n层比第(n+1)层多堆放(31-2n)个仪器箱。 方程二： 由此得 即第n层比第(n+1)层多堆放(31-2n)个仪器箱。 （3）方法一： 由题设条件，当 ∴仪器箱最多可以堆放12层。 方法二：由的图像知： ∵   ∴仪器箱最多可以堆放12层。 （4）① 由题意得 即第1层中每个仪器箱承受的平均压力为46.75N ② 当n=5时，第1层中每个仪器箱承受的平均压力为 当n=6时，第1层中每个仪器箱承受的平均压力为 因此，该仪器箱最多可以堆放5层。

据专家权威分析，试题“仪器箱按如图方式堆放（自下而上依次为第1层、第2层、……），受堆放..”主要考查你对  探索规律，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

探索规律求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：探索规律

• 探索规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
  掌握探究的一般方法是解决此类问题的关键。
  （1）掌握探究规律的方法，可以通过具体到抽象、特殊到一般的方法，有时通过类比、联想，还要充分利用已知条件或图形特征进行透彻分析，从中找出隐含的规律；
  （2）恰当合理的联想、猜想，从简单的、局部的特殊情况到一般情况是基本思路，经过归纳、提炼、加工，寻找出一般性规律，从而求解问题。

• 探索规律题题型和解题思路:
  1.探索条件型:结论明确,需要探索发现使结论成立的条件的题目;
  探索条件型往往是针对条件不充分、有变化或条件的发散性等情况，解答时要注意全面性，类似于讨论；解题应从结论着手，逆推其条件，或从反面论证，解题过程类似于分析法。
  
  2.探索结论型:给定条件,但无明确的结论或结论不唯一,而要探索发现与之相应的结论的题目;
  探索结论型题的特点是结论有多种可能，即它的结论是发散的、稳定的、隐蔽的和存在的；
  探索结论型题的一般解题思路是：
  （1）从特殊情形入手，发现一般性的结论；
  （2）在一般的情况下，证明猜想的正确性；
  （3）也可以通过图形操作验证结论的正确性或转化为几个熟悉的容易解决的问题逐个解决。
  3.探索规律型:在一定的条件状态下,需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目；
  图形运动题的关键是抓住图形的本质特征，并仿照原题进行证明。在探索递推时，往往从少到多，从简单到复杂，要通过比较和分析，找出每次变化过程中都具有规律性的东西和不易看清的图形变化部分。
  
  4.探索存在型:在一定的条件下,需探索发现某种数学关系是否存在的题目.而且探索题往往也是分类讨论型的习题,无论从解题的思路还是书写的格式都应该让学生明了基本的规范,这也是数学学习能力要求。
  探索存在型题的结论只有两种可能：存在或不存在；
  存在型问题的解题步骤是：
  ①假设存在；
  ②推理得出结论（若得出矛盾，则结论不存在；若不得出矛盾，则结论存在）。
   解答探索题型，必须在缜密审题的基础上，利用学具，按照要求在动态的过程中，通过归纳、想象、猜想，进行规律的探索，提出观点与看法，利用旧知识的迁移类比发现接替方法，或从特殊、简单的情况入手，寻找规律，找到接替方法；解答时要注意方程思想、函数思想、转化思想、分类讨论思想、数形结合思想在解题中的应用；因此其成果具有独创性、新颖性，其思维必须严格结合给定条件结论，培养了学生的发散思维，这也是数学综合应用的能力要求。

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

  ③交点式：
  y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac≥0] .
  已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x₁，0）和 B（x₂，0）,我们可设y=a(x-x₁)(x-x₂),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
  
  由一般式变为交点式的步骤：
  二次函数
  ∵x₁+x₂=-b/a， x₁?x₂=c/a(由韦达定理得),
  ∴y=ax2+bx+c
  =a(x2+b/ax+c/a)
  =a[x2-(x₁+x₂)x+x₁?x₂]
  =a(x-x₁)(x-x