题文

命题1：点（1，1）是直线y=x与双曲线y=的一个交点； 命题2：点（2，4）是直线y=2x与双曲线y=的一个交点； 命题3：点（3，9）是直线y=3x与双曲线y=的一个交点；…… （1）请观察上面命题，猜想出命题n（n是正整数）； （2）证明你猜想的命题n是正确的。

题型：解答题  难度：中档

答案

解：（1）命题n：点（n，n2）是直线y=nx与双曲线y=的一个交点（是正整数）； （2）把代入y=nx，左边=n2，右边=n·n=n2， ∵左边=右边， ∴点（n，n2）在直线上， 同理可证：点（n，n2）在双曲线上 ∴点（n，n2）是直线y=nx与双曲线y=的一个交点，命题正确。

据专家权威分析，试题“命题1：点（1，1）是直线y=x与双曲线y=的一个交点；命题2：点（2，4）是..”主要考查你对  探索规律，反比例函数的图像  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

探索规律反比例函数的图像

考点名称：探索规律

• 探索规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
  掌握探究的一般方法是解决此类问题的关键。
  （1）掌握探究规律的方法，可以通过具体到抽象、特殊到一般的方法，有时通过类比、联想，还要充分利用已知条件或图形特征进行透彻分析，从中找出隐含的规律；
  （2）恰当合理的联想、猜想，从简单的、局部的特殊情况到一般情况是基本思路，经过归纳、提炼、加工，寻找出一般性规律，从而求解问题。

• 探索规律题题型和解题思路:
  1.探索条件型:结论明确,需要探索发现使结论成立的条件的题目;
  探索条件型往往是针对条件不充分、有变化或条件的发散性等情况，解答时要注意全面性，类似于讨论；解题应从结论着手，逆推其条件，或从反面论证，解题过程类似于分析法。
  
  2.探索结论型:给定条件,但无明确的结论或结论不唯一,而要探索发现与之相应的结论的题目;
  探索结论型题的特点是结论有多种可能，即它的结论是发散的、稳定的、隐蔽的和存在的；
  探索结论型题的一般解题思路是：
  （1）从特殊情形入手，发现一般性的结论；
  （2）在一般的情况下，证明猜想的正确性；
  （3）也可以通过图形操作验证结论的正确性或转化为几个熟悉的容易解决的问题逐个解决。
  3.探索规律型:在一定的条件状态下,需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目；
  图形运动题的关键是抓住图形的本质特征，并仿照原题进行证明。在探索递推时，往往从少到多，从简单到复杂，要通过比较和分析，找出每次变化过程中都具有规律性的东西和不易看清的图形变化部分。
  
  4.探索存在型:在一定的条件下,需探索发现某种数学关系是否存在的题目.而且探索题往往也是分类讨论型的习题,无论从解题的思路还是书写的格式都应该让学生明了基本的规范,这也是数学学习能力要求。
  探索存在型题的结论只有两种可能：存在或不存在；
  存在型问题的解题步骤是：
  ①假设存在；
  ②推理得出结论（若得出矛盾，则结论不存在；若不得出矛盾，则结论存在）。
   解答探索题型，必须在缜密审题的基础上，利用学具，按照要求在动态的过程中，通过归纳、想象、猜想，进行规律的探索，提出观点与看法，利用旧知识的迁移类比发现接替方法，或从特殊、简单的情况入手，寻找规律，找到接替方法；解答时要注意方程思想、函数思想、转化思想、分类讨论思想、数形结合思想在解题中的应用；因此其成果具有独创性、新颖性，其思维必须严格结合给定条件结论，培养了学生的发散思维，这也是数学综合应用的能力要求。

考点名称：反比例函数的图像

• 反比例函数的图象：
  反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
  反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线，反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）。

• 反比例函数图象的画法：
  （1）列表：
  
  （2）描点：在平面直角坐标系中标出点。
  （3）连线：用平滑的曲线连接点。
  当双曲线在一三象限，K>0，在每个象限内，Y随X的增大而减小。
  当双曲线在二四象限，K<0，在每个象限内，Y随X的增大而增大。
  常见画法当两个数相等时那么曲线呈弯月型。

• k的意义及应用：
  过反比例函数（k≠0），图像上一点P（x,y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积。过反比例函数过一点，作垂线，三角形的面积为。
  研究函数问题要透视函数的本质特征。反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积
  所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。从而有k的绝对值。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。
  
  推论内容：一次函数y=x+b或y=-x+b若与反比例函数存在两个交点，若设2点的横坐标分别为x₁,x₂，那么这两个交点与原点连线和两点之间的连线所构成的三角形面积为

• 不同象限分比例函数图像：
  
  
  常见画法：