题文

如图所示，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标满足方程ax+by=5，求a2+b2 的值.

题型：解答题  难度：中档

答案

解：

据专家权威分析，试题“如图所示，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标满足方程ax+by=5，..”主要考查你对  二元一次方程的解法  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二元一次方程的解法

考点名称：二元一次方程的解法

• 二元一次方程的解：
  使二元一次方程左、右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。

• 二元一次方程解法:
  二元一次方程有无数个解，除非题目中有特殊条件。
  一、消元法
  “消元”是解二元一次方程的基本思路。所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元方程再解出未知数。这种将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。
  如:5x+6y=7 2x+3y=4,变为5x+6y=7 4x+6y=8
  消元方法：
  代入消元法(常用）
  加减消元法（常用）
  顺序消元法（这种方法不常用）
  例：
      x-y=3 ①
  ｛
      3x-8y=4②
  由①得x=y+3③
  ③代入②得
  3（y+3)-8y=4
  y=1
  所以x=4
  则：这个二元一次方程组的解
      x=4
  ｛
      y=1

  (一)加减-代入混合使用的方法.
  例：
       13x+14y=41 ①
  ｛      
       14x+13y=40②
  ②-①得
  x-y=-1
  x=y-1 ③
  把③代入①得
  13(y-1)+14y=41
  13y-13+14y=41
  27y=54
  y=2
  把y=2代入③得
  x=1
  所以:x=1,y=2
  最后 x=1 ，y=2， 解出来
  特点：两方程相加减，得到单个x或单个y，适用接下来的代入消元。

  (二)代入法
  是二元一次方程的另一种方法，就是说把一个方程带入另一个方程中
  如：
  x+y=590
  y+20=90%x
  带入后就是：
  x+90%x-20=590
  (x+5)+(y-4)=8
  (x+5)-(y-4)=4
  令x+5=m,y-4=n
  原方程可写为
  m+n=8
  m-n=4
  解得m=6,n=2
  所以x+5=6,y-4=2
  所以x=1,y=6
  特点：两方程中都含有相同的代数式（x+5，y-4），换元后可简化方程。

  （三）另类换元
  例：
  x:y=1:4①
  5x+6y=29②
  令x=t,y=4t
  方程2可写为：5t+24t=29
  29t=29
  t=1
  所以x=1,y=4

  二、换元法
  解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
  换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
  它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
  如：
  (x+y)/2-(x-y)/3=6
  3(x+y)=4(x-y)
  解：
  设x+y为a,x-y为b
  原=a/2-b/3=6①
  3a=4b②
  ①×6 得3a-2b=36③
  把②代入③ 得2b=36 b=18
  把b=18代入②得a=24
  所以x+y=24④
  x-y=18⑤
  ④-⑤得 2y=6 y=3
  把y=3代入④得 x=21
  x=21，y=3
  是方程组的解
  
  整体代入
  如：
  2x+5y=15①
  85-7y=2x②
  解：把②代入①得
  85-7y+5y=15
  -2y=-70
  y=35
  把y=35代入②
  得x=-80
  x=-80，y=35
  是方程组的解

• 二元一次方程有两个正根的特点：
  二元一次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
  有两个正跟要满足下列3个条件
  1、保证有两个跟，即：△≥0，也就是b²-4ac≥0
  2、x¹+x²＞0，即 —b/a＞0
  3、x¹×x²＞0，即c/a＞0
  然后根据所给的条件在求出题目中要求的某些字母的值
  
  二元一次方程整数解存在的条件：
  在整系数方程ax+by=c中，
  若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即
  如果（a,b）|c 则方程ax+by=c有整数解
  显然a,b互质时一定有整数解。
  例如方程
  3x+5y=1,　
  5x-2y=7,　
  9x+3y=6都有整数解。
  返过来也成立，方程
  9x+3y=10和
  4x-2y=1都没有整数解，
  ∵（9，3）＝3，而3不能整除10；
  （4，2）＝2，而2不能整除1。
  一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。
  
  二元一次方程整数解的方法：
  ①首先用一个未知数表示另一个未知数,如y=10-2x；
  ②给定x一个值,求y的一个对应值，就可以得到二元一次方程的一组解；
  ③根据提议对未知数x、y做出限制，确定x的可能取值，确定二元一次方程所有的整数解。