题文

某工厂计划为学校生产A，B两种型号的学生桌椅500套，以解决1254名学生的学习问题，一套A型桌椅（一桌两椅）需木料0.5m3，一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m3，工厂现有库存木料302m3。 （1）有多少种生产方案？ （2）现要把生产的全部桌椅运往学校销售，已知每套型桌椅售价150元，生产成本100元，运费2元；每套型桌椅售价200元，生产成本120元，运费4元，求总利润（元）与生产型桌椅（套）之间的关系式，并确定总利润最少的方案和最少的总利润。（利润售价－生产成本－运费） （3）按（2）的方案计算，有没有剩余木料？如果有，请直接写出用剩余木料再生产以上两种型号的桌椅，最多还可以为多少名学生提供桌椅；如果没有，请说明理由。

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）7种；（2）生产型桌椅246套、型桌椅254套时，总利润有最小值31118元； （3）有剩余木料，最多为5名学生提供桌椅.

试题分析：（1）设生产A型桌椅x套，则生产B型桌椅（500-x）套，由一套A型桌椅（一桌两椅）需木料0.5m3，一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m3，表示出所需的木料数，根据所需的木料数小于等于302列出不等式，再由A型一桌两椅，B型一桌三椅，计算出提供多少学生的桌椅，大于等于1254列出不等式，两不等式联立组成不等式组，求出不等式组的解集，得到x的范围，再由x为正整数即可求得结果； （2）由利润=售价-生产成本-运费，分别表示出A型桌椅与B型桌椅每套的利润，由生产A型桌椅x套，则生产B型桌椅（500-x）套分别求出A和B的利润，相加表示出总利润y与x的一次函数关系式，由一次函数的比例系数小于0，得到此一次函数为减函数，将x的最大值代入求出对应y的值，即为最少的利润； （3）由总利润最少时x的值，得到A型桌椅的套数，进而求出B型桌椅的套数，根据一套A型桌椅和一套B型桌椅所需的木料数，计算出用的木料数，用总木料数-用的木料数得到剩余的木料数，剩余的木料数可生产一套A型桌椅与一套B型桌椅，最多给5名学生提供桌椅． （1）设生产型桌椅套，则生产型桌椅套，由题意得 解得 ∵x为整数， ∴x的值有7个，分别为：240，241，242，243，244，245，246， 所以有7种生产方案； （2）根据题意得：y=（150-100-2）x+（200-120-4）（500-x）=-28x+38000，  ，随的增大而减少 ∴一次函数y=-28x+38000为减函数，即y随x的增大而减小， 当时，有最小值． 当生产型桌椅246套、型桌椅254套时，总利润有最小值31118（元）； （3）当生产A型桌椅246套，B型桌椅254套时，用的木料为246×0.5+254×0.7=300.8m3， 可得剩余木料为302-300.8=1.2m3， ∵一套A型桌椅（一桌两椅）需木料0.5m3，一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m3， 则生产A型桌椅1套，B型桌椅1套时，最多为5名学生提供桌椅. 点评：此类问题难度较大，在中考中比较常见，一般在压轴题中出现，需特别注意.

据专家权威分析，试题“某工厂计划为学校生产A，B两种型号的学生桌椅500套，以解决1254名..”主要考查你对  一次函数的定义，正比例函数的定义，正比例函数的图像  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一次函数的定义正比例函数的定义正比例函数的图像

考点名称：一次函数的定义

• 一次函数的定义：
  在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果可以写成y=kx+b(k、b为常数，k≠0)，那么我们就说y是x的一次函数，其中x是自变量，y是因变量。
  ①正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数；
  ②一般情况下，一次函数的自变量的取值范围时全体实数；
  ③如果一个函数是一次函数，则含有自变量x的式子是一次的，系数k不等于0，而b可以为任意实数。

• 一次函数基本性质：
  1．在正比例函数时，x与y的商一定(x≠0）。在反比例函数时，x与y的积一定。
  在y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中，当x增大m时，函数值y则增大km，反之，当x减少m时，函数值y则减少km。
  
  2．当x=0时，b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标，该点的坐标为(0，b)。
  
  3．当b=0时，一次函数变为正比例函数。当然正比例函数为特殊的一次函数。
  
  4．在两个一次函数表达式中：
  当两个一次函数表达式中的k相同，b也相同时，则这两个一次函数的图像重合；
  当两个一次函数表达式中的k相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像平行；
  当两个一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像相交；
  当两个一次函数表达式中的k不相同，b相同时，则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）；
  当两个一次函数表达式中的k互为负倒数时，则这两个一次函数图像互相垂直。
  
  5．两个一次函数（y1=k₁x+b₁,y₂=k₂x+b₂)相乘时（k≠0），得到的的新函数为二次函数，
  该函数的对称轴为－（k₂b₁+k₁b₂)/(2k₁k₂)；
  当k₁,k₂正负相同时，二次函数开口向上；
  当k₁,k₂正负相反时，二次函数开口向下。
  二次函数与y轴交点为（0，b₂b₁)。
  
  6．两个一次函数(y₁=ax+b,y₂=cx+d)之比，得到的新函数y₃=(ax+b)/(cx+d)为反比例函数，渐近线为x=－b/a，y=c/a。

• 一次函数的判定：
  ①判断一个函数是否是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b的形式；
  ②当k≠0，b=0时，这个函数即是k≠0一次函数，k≠0又是正比例函数；
  ③当k=0，b≠0时，这个函数不是一次函数；
  ④一次函数的一般形式是关于x的一次二项式，它可以转化为含x、y的二元一次方程。

考点名称：正比例函数的定义

• 正比例函数定义：
  一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
  正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。
  正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数y=kx+b中，若b=0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。
  正比例函数的关系式表示为：y=kx（k为比例系数）
  当k>0时（一三象限），k越大，图像与y轴的距离越近。函数值y随着自变量x的增大而增大。
  当k<0时（二四象限），k越小，图像与y轴的距离越近。自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小。

• 正比例函数性质：
  定义域
  R（实数集）
  
  值域
  R（实数集）
  
  奇偶性
  奇函数
  
  单调性
  当k>0时，图像位于第一、三象限，从左往右，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；
  当k<0时，图像位于第二、四象限，从左往右，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数。
  
  周期性
  不是周期函数。
  
  对称性
  对称点：关于原点成中心对称
  对称轴：自身所在直线；自身所在直线的垂直平分线

考点名称：正比例函数的图像

• 图象：一条经过原点的直线。
  性质：
  （1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
  （2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
  1、在x允许的范围内取一个值，根据解析式求出y的值；
  2、根据第一步求的x、y的值描出点；
  3、作出第二步描出的点和原点的直线（因为两点确定一直线）。

• <?xml:namespace prefix = "v" ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" />正比例函数的图像：
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