题文

已知点A（a，b）为双曲线y= 6 x （x＞0）图象上一点． （1）如图1所示，过点A作AD⊥y轴于D点，点P是x轴任意一点，连接AP．求△APD的面积． （2）以A（a，b）为直角顶点作等腰Rt△ABC，如图2所示，其中点B在点C的左侧，若B点的坐标为B（-1，0），且a、b都为整数时，试求线段BC的长． （3）在（2）中，当等腰Rt△ABC的直角顶点A（a，b）在双曲线上移动时，B、C两点也随着移动，试用含a，b的式子表示C点坐标；并证明在移动过程中OC2-OB2的值恒为定值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）由点A（a，b）在反比例函数y= 6 x 上可得： ab=6，AD=a，OD=b， 所以S△ABC= 1 2 AD?OD= 1 2 ab=3， （2）过A作AE垂直x轴于E点，可得：E（a，0）， 则由∠ABE=45°可得△ABE为等腰直角三角形， ∴AE=BE， E在B右侧且B坐标为（-1，0）， ∴BE=a-（-1）=a+1，则a+1=b， 又∵ab=6且a、b都为整数． ∴a只能取2，b为3， 此时，BE=AE=CE=b=3， ∴BC=BE+CE=6， （3）由（2）可知：EC=AE=BE=b；且不管点A如何移动，总有：OC=OE+EC=a+b，且C总在x轴正半轴， ∴C（a+b，0）， 当B在y轴左侧时，如图2所示，则a＜b， OB=BE-OE=b-a． （a+b）2-（b-a）2=a2+2ab+b2-a2+2ab-b2=4ab=4×6=24， ∴OC2-OB2=24， 当B在y轴右侧或与原点重合时， 如图4所示，则a≥b， ∴OB=OE-BE=a-b， ∴OC2-OB2=（a+b）2-（a-b）2=a2+2ab+b2-a2+2ab-b2=4ab=4×6=24综上所述：移动过程中OC2-OB2的值恒为24．

据专家权威分析，试题“已知点A（a，b）为双曲线y=6x（x＞0）图象上一点．（1）如图1所示，过点A..”主要考查你对  求反比例函数的解析式及反比例函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用

• 反比例函数解析式的确定方法：
  由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。

  反比例函数的应用：
  建立函数模型，解决实际问题。

• 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
  ①设所求的反比例函数为：y= (k≠0)；
  ②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；
  ③由代人法解待定系数k的值；
  ④把k值代人函数关系式y= 中。
  
  反比例函数应用一般步骤：
  ①审题；
  ②求出反比例函数的关系式；
  ③求出问题的答案，作答。