题文

设a与b是两个不相等的非零自然数． （1）如果它们的最小公倍数是72，那么这两个自然数的和有多少种可能的数值？ （2）如果它们的最小公倍数是60，那么这两个自然数的差有多少种可能的数值？

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）72=1×72=8×9=2×2×2×3×3， 所以：a和b可能是1、72或8、9或72、2、或72、3或72、4或72、6或72、8、或72、9或72、12或72、18或72、24或72、36或36、8或36、24、或24、18或24、9或18、8； 72+1=73， 72+2=74， 72+3=75， 72+4=76， 72+6=78， 72+8=80， 72+9=81， 72+12=84， 72+18=90， 72+24=96 72+36=108， 36+8=44， 36+24=60， 24+18=42， 24+9=33， 18+8=26， 9+8=17， 所以a与b之和可以有17种不同的值； 答：一共有17种不同的值． （2）60=2×2×3×5， a=60，b可取60的全部因子式共11个：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30 a=30，b可取全部因子中所有4的倍数共4个：4，12，20，60 a=20，b可取全部因子中所有3的倍数共6个：3，6，12，15，30，60 a=15，b可取全部因子中所有4的倍数共4个：4，12，20，60 a=12，b可取全部因子中所有5的倍数共6个：5，10，15，20，30，60 a=10，b可取全部因子中所有12的倍数共2个：12，60 a=6，b可取全部因子中所有20的倍数共2个：20，60 a=5，b可取全部因子中所有12的倍数共2个：12，60 a=4，b可取全部因子中所有15的倍数共3个：15，30，60 a=3，b可取全部因子中所有20的倍数共2个：20，60 a=2，b可取全部因子中所有60的倍数共1个：60 a=1，b可取全部因子中所有60的倍数共1个：60 共计11+4+6+4+6+2+2+2+3+2+1+1=44对， 如果不考虑a，b的顺序也应有22种情况． （1，60），（2，60），（3，20），（3，60），（4，15），（4，30），（4，60），（5，12），（5，60），（6，20），（6，60）， （10，12），（10，60），（12，15，），（12，20），（12，30），（12，60）， （15，20），（15，60），（20，30），（20，60），（30，60） 它们的差是：2，3，5，7，8，10，11，14，17，18，26，30，40，45，48，50，54，55，56，57，58，59． 答：共有22种不同的差．

据专家权威分析，试题“设a与b是两个不相等的非零自然数．（1）如果它们的最小公倍数是72，..”主要考查你对  整除和除尽  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

整除和除尽

考点名称：整除和除尽

• 定义：
  1、整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说数a能被数b整除，或数b能整除数a。 
  
  2、数a除以数b（b≠0），除得的商是整数或是有限小数，这就叫做除尽。如果商是无限小数，就叫除不尽。
  

• 整除和除尽的关系：
  整除是除尽的特殊形式，能整除的算式一定能除尽，但能除尽的算式不一定能整除。
  
  整除规则：
  第一条（1）：任何数都能被1整除。  
  第二条（2）：个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。   
  第三条（3）：每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。   
  第四条（4）：最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。   
  第五条（5）：个位上是0或5的数都能被5整除。   
  第六条（6）：一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。   
  第七条（7）：把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。   
  第八条（8）：最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。   
  第九条（9）：每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。   
  第十条（10）： 若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除