题文

N是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除．N的最大值是______．

题型：解答题  难度：中档

答案

0不能做除数，所以N不能含有0，． N不能同时含有5和偶数，因为此时N的个位将是0．如果含有5，则2，4，6，8都不能有，此时位数不会多． 如果N只缺少5，则含有1，2，3，4，6，7，8，9，但是数字和为40，不能被9整除． 所以必须再去掉一位，为了最大，应该保留9放到最高位，为了使数字和被9整除，还需要去掉4． 此时由1，2，3，6，7，8，9组成，肯定被9整除，还需要考虑被7和8整除． 前四位最大为9876，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为312，9876312被7除余5； 前四位如果取9873，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为216，9873216被7除余3； 前四位如果取9872，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为136，9872136被7除余1； 前四位如果取9871，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为632，9871632被7除余1； 前四位如果取9867，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为312，9867312被7整除．9867312能同时被9、8、7、6、3、2、1整除， 故答案为：9867312．

据专家权威分析，试题“N是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除．N的最..”主要考查你对  整除和除尽  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

整除和除尽

考点名称：整除和除尽

• 定义：
  1、整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说数a能被数b整除，或数b能整除数a。 
  
  2、数a除以数b（b≠0），除得的商是整数或是有限小数，这就叫做除尽。如果商是无限小数，就叫除不尽。
  

• 整除和除尽的关系：
  整除是除尽的特殊形式，能整除的算式一定能除尽，但能除尽的算式不一定能整除。
  
  整除规则：
  第一条（1）：任何数都能被1整除。  
  第二条（2）：个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。   
  第三条（3）：每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。   
  第四条（4）：最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。   
  第五条（5）：个位上是0或5的数都能被5整除。   
  第六条（6）：一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。   
  第七条（7）：把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。   
  第八条（8）：最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。   
  第九条（9）：每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。   
  第十条（10）： 若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除