题文

求所有正实数a，使得方程x2-ax+4a=0仅有整数根．

题型：解答题  难度：中档

答案

设两整数根为x，y， 则 x+y=a＞0 xy=4a＞0 ， ∴a= x2 x-4 ， ∵a是正实数， ∴ x2 x-4 ＞0， 由于x2≥0，（而a是正实数） ∴x-4＞0，即x＞4， 而x是整数， ∴x最小取5． 又∵原方程有根， ∴△=b2-4ac=a2-4×1×4a=a2-16a≥0， ∵a是正实数， ∴a≥16， ∴当x=5时，a=25＞16，y=20；x=6时，a=18，y=12；x=7时，a= 49 3 ，y= 28 3 （y不是整数，故舍去）；x=8时，a=16，y=8． 于是a=25或18或16均为所求．

据专家权威分析，试题“求所有正实数a，使得方程x2-ax+4a=0仅有整数根．-数学-”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0