题文

设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+ax+a+3=0的两个实数根，则x12+x22的最小值为______．

题型：填空题  难度：中档

答案

∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2+ax+a+3=0的两个实数根， ∴△=a2-4（a+3）=a2-4a-12=（a+2）（a-6）≥0， ∴a+2≥0，a-6≥0或a+2≤0，a-6≤0， ∴a≥6或a≤-2， 由根与系数的关系可得： x1+x2=-a，x1?x2=a+3， 又知x12+x22=（x1+x2）2-2x1?x2=a2-2a-6=（a-1）2-7， ∴a=-2时，有最小值， 所以最小值为2．

据专家权威分析，试题“设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+ax+a+3=0的两个实数根，则x12+..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0