题文

已知：关于x的一元二次方程mx2-（3m+2）x+2m+2=0（m≠0） （1）若m=1，求出此时方程的实数根； （2）求证：方程总有实数根； （3）设m＞0，方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2）、若y是关于m的函数，且y=x2-2x1，求函数的解析式，并画出其图象．（画草图即可，不必列表）

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）若m=1，方程化为x2-5x+4=0 即（x-1）（x-4）=0，得x-1=0或x-4=0， ∴x1=1或x2=4； 证明：（2）∵mx2-（3m+2）x+2m+2=0是关于x的一元二次方程， ∴△=[-（3m+2）]2-4m（2m+2）=m2+4m+4=（m+2）2 ∵m≠0， ∴（m+2）2≥0，即△≥0 ∴方程有实数根； （3）由求根公式，得x= (3m+2)±(m+2) 2m ． ∴x= 2m+2 m 或x=1 ∵ 2m+2 m =2+ 2 m ∵m＞0， ∴ 2m+2 m =2+ 2 m ＞2 ∵x1＜x2， ∴x1=1，x2= 2m+2 m ∴y=x2-2x1= 2m+2 m -2×1= 2 m 即y= 2 m (m＞0)为所求． 此函数为反比例函数，其图象如图所示：即y= 2 m (m＞0)为所求． 此函数为反比例函数，其图象如图所示：

据专家权威分析，试题“已知：关于x的一元二次方程mx2-（3m+2）x+2m+2=0（m≠0）（1）若m=1，求出..”主要考查你对  一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根与系数的关系

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

• 一元二次方程根与系数的关系：
  如果方程 的两个实数根是那么，。
  也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

• 一元二次方程根与系数关系的推论：
  1.如果方程x²+px+q=0的两个根是x_1、x_2，那么x₁₊x_2^=-p _^， x_1`x₂₌q
  2.以两个数x₁、x₂为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0
  提示：
  ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
  ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
  ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x_1、x₂为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x₂-(x₁+x₂)x+x₁x_2⁼0