题文

如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(-1, 0)、B(4, 5)两点，过点B作BC⊥x轴，垂足为C． （1）求抛物线的解析式； （2）求tan∠ABO的值； （3）点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的横坐标．

题型：解答题  难度：偏难

答案

（1）y=x2-2x-3．（2），（3）、、、．

试题分析：（1）将A（-1，0）、B（4，5）分别代入y=x2+bx+c求出b和c的值即可； （2）过点O作OH⊥AB，垂足为H，根据勾股定理可求出AB的长，进而得到：在Rt△BOH中，tan∠ABO= ． （3）设点M的坐标为（x，x2-2x-3），点N的坐标为（x，x+1），在分两种情况：当点M在点N的上方时和当点M在点N的下方时，则四边形NMCB是平行四边形讨论求出符合题意的点M的横坐标即可． 试题解析：：（1）将A（-1，0）、B（4，5）分别代入y=x2+bx+c，得 ， 解得b=-2，c=-3． ∴抛物线的解析式：y=x2-2x-3． （2）在Rt△BOC中，OC=4，BC=5． 在Rt△ACB中，AC=AO+OC=1+4=5， ∴AC=BC． ∴∠BAC=45°，AB=． 如图1，过点O作OH⊥AB，垂足为H． 在Rt△AOH中，OA=1， ∴AH=OH=OA×sin45°=1×=， ∴BH=AB-AH=， 在Rt△BOH中，tan∠ABO=． （3）直线AB的解析式为：y=x+1． 设点M的坐标为（x，x2-2x-3）， 点N的坐标为（x，x+1）， 如图2，当点M在点N的上方时， 则四边形MNCB是平行四边形，MN=BC=5． 由MN=（x2-2x-3）-（x+1）=x2-2x-3-x-1=x2-3x-4， 解方程x2-3x-4=5，得x=或x=． ②如图3，当点M在点N的下方时，则四边形NMCB是平行四边形，NM=BC=5． 由MN=（x+1）-（x2-2x-3）=x+1-x2+2x+3=-x2+3x+4， 解方程-x2+3x+4=5，得x=或x=． 所以符合题意的点M有4个，其横坐标分别为：、、、．

据专家权威分析，试题“如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(-1,0)、B(4,5)两点，过点B作BC⊥..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
  ②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
  ③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。