题文

已知x、y为正整数，且满足xy-（ x+y ）=2p+q，其中p、q分别是x与y的最大公约数和最小公倍数，求所有这样的数对（x，y ）  （x≥y ）．

题型：解答题  难度：中档

答案

①当x是y的倍数时，设x=ky（k是正整数）． 则由原方程，得 ky?y-（ky+y）=2y+ky， ∵y≠0， ∴ky-（k+1）=2+k， ∴k（y-2）=3， 当k=1时，x=5，y=5； 当k=3时，x=9，y=3； ∴ x=9 y=3 ， x=5 y=5 ； ②当x不是y的倍数时，令x=ap，y=bp，a，b互质，则q=abp，代入原式 得：abp2-（ap+bp）=2p+abp，即abp-1=（a+1）（b+1） 当p=1时，a+b=2，可求得a=1，b=1，此时不满足条件； 当p＞1时，abp≥2ab-1=ab+（ab-1）≥ab＞（a-1）（b-1） 此时，abp-1=（a-1）（b+1）不满足条件； 综上所述，满足条件的数对有： x=9 y=3 ， x=5 y=5 ．

据专家权威分析，试题“已知x、y为正整数，且满足xy-（x+y）=2p+q，其中p、q分别是x与y的最..”主要考查你对  有理数除法  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数除法

考点名称：有理数除法

• 有理数除法定义：
  已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。

• 有理数的除法法则：
  （1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；
  （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
  （3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。

• 有理数除法注意：
  ①0不能做除数；
  ②有理数的除法和乘法是互逆运算；
  ③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。