题文

已知抛物线   （1）试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；    （2）如图，当该抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C，直线y=x-1与抛物线交于A、B两点.并与它的对称轴交于点D.     ①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；    ②平移直线CD.交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形.

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：(1) ∵不管m为何实数，总有(m-2)2≥0，∴△= (m-2)2+3>0， ∴无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点.     (2)∵抛物线的对称轴为直线 x=3. ∴m=3，抛物线的解析式为 所以 A的坐标为(1.0)、B 的坐标为(7，6), ∵x=3 时 y= x-1 = 3-1 = 2，∴D 的坐标为(3，2)， 设抛物线的对称轴与 x轴的交点为 E. 则 E的坐标为 (3.0)，所以 AE= DE= CE=2，     ①假设抛物线上存在一点 P 使得四边形ACPD是正方形. 则 AP、CD 互相垂直平分且相等，于是P点坐标为(5，0). 故抛物线上存在一点 P(5，0)使得四边形ACPD是正方形.      ②(I)设直线CD 向右平移n个单位(n>0)可使得 C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3+n·直线CD与直线y=x-1 交于点 M(3+n·2+n)， 又∵D 的坐标为(3，2).C坐标为(3.-2). ∴D通过向下平移 4个单位得到C.      ∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形. ∴四边形 CDMN是平行四边形或四边形 CDNM是平行四边形.     ( i )当四边形 CDMN是平行四边边形， ∴M向下平移4个单位得 N.      ∴N坐标为 (3+n，n-2)，   解得：n1 = 0(不合题意，舍去)，n2=2 ；     ( ii )当四边形 CDNM是平行四边形. ∴M向上平移4个单位得 N. ∴N坐标为 (3+n，n+6)，    (Ⅱ)设直线CD向左平移n 个单位(n>0)可使得 C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形.则直线CD的解析式为 x=3-n，直线CD与直线y=x-1交于点 M(3-n，2-n)， 又∵D的坐标为(3，2).C坐标为(3.-2)，·'.D通过向下平移 4个单位得到C.    ∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形. ∴四边形CDMN是平行四边形或四边形 CDNM是平行四边形.     ( i )当四边形 CDMN是平行四边形.∴M 向下平移4个单位得 N.      ∴N坐标为(3-n，-2-n)， 解得：n1 = 0(不合题意，舍去)，n2=-2(不合题意.舍去)；     ( ii )当四边形 CDNM是平行四边形. ∴M 向上平移4 个单位得 N。     ∴N坐标为(3-n，6-n)，   综上所述，直线CD 向右平移 2 或(1+)个单位或向左平移 (-1+)个单位. 可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形.

据专家权威分析，试题“已知抛物线（1）试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同..”主要考查你对  二次函数与一元二次方程，求二次函数的解析式及二次函数的应用，平行四边形的性质，正方形，正方形的性质，正方形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数与一元二次方程求二次函数的解析式及二次函数的应用平行四边形的性质正方形，正方形的性质，正方形的判定

考点名称：二次函数与一元二次方程

• 二次函数与一元二次方程的关系：
  函数y=ax²+bx+c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）。
  那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标，因此，二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。
  1、从形式上看：
  二次函数：y=ax2＋bx＋c  (a≠0)
  一元二次方程：ax2＋bx＋c=0  (a≠0)
  2、从内容上看：
  二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值
  3、相互关系：
  二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。
  如：y=x2－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二次方程x2－4x＋3=0的根是x=1或x=3

• 二次函数交点与二次方程根的关系：
  抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况说明：
  1、若△＞0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个交点---相交；
  2、若△=0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴有唯一公共点---相切（顶点）；
  3、若△＜0，则一元二次方程ax²+bx+c=0没有实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴没有公共点--相离。
  若抛物线y=ax²+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（x₁，0），B（x₂，0），则x₁+x₂=-，x