题文

已知抛物线y=x2+（2a-1）x+a2+3a+ 17 4 与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）． （1）求实数a的取值范围； （2）令S=x12+x22，求S的取值范围．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵抛物线y=x2+（2a-1）x+a2+3a+ 17 4 与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）． ∴b2-4ac＞0， 即（2a-1）2-4（a2+3a+ 17 4 ）＞0， 解得a＜-1． （2）设方程x2+（2a-1）x+a2+3a+ 17 4 =0的两根为x1，x2， ∴x1+x2=1-2a，x1?x2=a2+3a+ 17 4 ， ∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1?x2=（1-2a）2-2（a2+3a+ 17 4 ）=2（a- 5 2 ）2-20， ∵a＜-1， ∴（a- 5 2 ）2＞ 49 4 ， ∴2（a- 5 2 ）2-20＞ 9 2 ， 即S＞ 9 2 ．

据专家权威分析，试题“已知抛物线y=x2+（2a-1）x+a2+3a+174与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0..”主要考查你对  二次函数与一元二次方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数与一元二次方程

考点名称：二次函数与一元二次方程

• 二次函数与一元二次方程的关系：
  函数y=ax²+bx+c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）。
  那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标，因此，二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。
  1、从形式上看：
  二次函数：y=ax2＋bx＋c  (a≠0)
  一元二次方程：ax2＋bx＋c=0  (a≠0)
  2、从内容上看：
  二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值
  3、相互关系：
  二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。
  如：y=x2－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二次方程x2－4x＋3=0的根是x=1或x=3

• 二次函数交点与二次方程根的关系：
  抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况说明：
  1、若△＞0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个交点---相交；
  2、若△=0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴有唯一公共点---相切（顶点）；
  3、若△＜0，则一元二次方程ax²+bx+c=0没有实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴没有公共点--相离。
  若抛物线y=ax²+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（x₁，0），B（x₂，0），则x₁+x₂=-，x₁x₂=。