题文

已知二次函数y=x2+ax+a-2． （1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点； （2）设a＜0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为 13 时，求出此二次函数的解析式； （3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为 3 13 2 ？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）因为△=a2-4（a-2）=（a-2）2+4＞0， 所以不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点． （2）设x1、x2是y=x2+ax+a-2=0的两个根，则x1+x2=-a，x1?x2=a-2，因两交点的距离是 13 ， 所以|x1-x2|= (x1-x2)2 = 13 ． 即：（x1-x2）2=13 变形为：（x1+x2）2-4x1?x2=13 即（-a）2-4（a-2）=13 整理得：（a-5）（a+1）=0 解方程得：a=5或-1 又∵a＜0 ∴a=-1 ∴此二次函数的解析式为y=x2-x-3． （3）设点P的坐标为（x0，y0）， ∵函数图象与x轴的两个交点间的距离等于 13 ， ∴AB= 13 ∴S△PAB= 1 2 AB?|y0|= 3 13 2 ∴ 13 |y0| 2 = 3 13 2 即：|y0|=3，则y0=±3 当y0=3时，x02-x0-3=3，即（x0-3）（x0+2）=0 解此方程得：x0=-2或3 当y0=-3时，x02-x0-3=-3，即x0（x0-1）=0 解此方程得：x0=0或1（11分） 综上所述，所以存在这样的P点，P点坐标是（-2，3），（3，3），（0，-3）或（1，-3）．

据专家权威分析，试题“已知二次函数y=x2+ax+a-2．（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x..”主要考查你对  二次函数与一元二次方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数与一元二次方程

考点名称：二次函数与一元二次方程