题文

已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2． （1）求q关于p的关系式； （2）求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点； （3）设抛物线y=x2+px+q的顶点为M，且与x轴相交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，求使△AMB面积最小时的抛物线的解析式．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）把x=2代入得22+2p+q+1=0，即q=-（2p+5）； （2）证明：∵一元二次方程x2+px+q=0的判别式△=p2-4q＞0， 由（1）得△=p2+4（2p+5）=p2+8p+20=（p+4）2+4＞0，（3分） ∴一元二次方程x2+px+q=0有两个不相等的实根．（4分） ∴抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点；（5分） （3）抛物线顶点的坐标为M(- p 2 ， 4q-p2 4 )，（6分） ∵x1，x2是方程x2+px+q=0的两个根， ∴ x1+x2=-p x1x2=q ， ∴|AB|=|x1-x2|= (x1+x2)2-4x1x2 = p2-4q ．（7分） ∴S△AMB= 1 2 |AB|?| 4q-p2 4 |= 1 8 (p2-4q) p2-4q ，（8分） 要使S△AMB最小，只须使p2-4q最小． 由（2）得△=p2-4q=（p+4）2+4， 所以当p=-4时，有最小值4，此时S△AMB=1，q=3．（9分） 故抛物线的解析式为y=x2-4x+3．（10分）

据专家权威分析，试题“已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2．（1）求q关于p的关系式；（2..”主要考查你对  二次函数与一元二次方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数与一元二次方程

考点名称：二次函数与一元二次方程

• 二次函数与一元二次方程的关系：
  函数y=ax²+bx+c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）。
  那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标，因此，二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。
  1、从形式上看：
  二次函数：y=ax2＋bx＋c  (a≠0)
  一元二次方程：ax2＋bx＋c=0  (a≠0)
  2、从内容上看：
  二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值
  3、相互关系：
  二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。
  如：y=x2－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二次方程x2－4x＋3=0的根是x=1或x=3

• 二次函数交点与二次方程根的关系：
  抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况说明：
  1、若△＞0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个交点---相交；
  2、若△=0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴有唯一公共点---相切（顶点）；
  3、若△＜0，则一元二次方程ax²+bx+c=0没有实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴没有公共点--相离。
  若抛物线y=ax²+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（x₁，0），B（x₂，0），则x₁+x₂=-，x₁x₂=。

• 点拨：
  ①解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标。
  ②若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁,x₂(x₁<x₂),则抛物线y=ax