题文

如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． （1）求证：EO=FO； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？ 并证明你的结论．

题型：证明题  难度：偏难

答案

解：（1）证明：∵CE是∠BCA的平分线 ∴∠BCE=∠ACE           又∵MN//BC ，∴∠BCE=∠CEN    ∴∠CEN=∠ACE    得出EO=CO          同理可得CO=FO   ∴EO=FO      （2）当O是AC中点时，四边形AECF是矩形          证明：由（1）知EO=FO，当O是AC中点时，有OA=OC，         ∴四边形AECF是平行四边形      又CE平分∠BCA ，CF平分∠BCA的外角      ∴∠ACE=,∠ACF=     ∴∠ACE+∠ACF=)=90°     即∠ECF=90°∴四边形AECF是矩形

据专家权威分析，试题“如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设M..”主要考查你对  角平分线的定义 ，矩形，矩形的性质，矩形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

角平分线的定义 矩形，矩形的性质，矩形的判定

考点名称：角平分线的定义

• 角的平分线的定义：
  一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

• 角平分线的性质：
  角平分线上的点，到角两边的距离相等
  定理：
  角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。垂直于两边为最短距离。角平分线能得到相同的两个角。三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
  逆定理：
  到角两边的距离相等的点在角平分线上。

考点名称：矩形，矩形的性质，矩形的判定

• 矩形:
  是一种平面图形，矩形的四个角都是直角，同时矩形的对角线相等，而且矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。

• 矩形的性质：
  1．矩形的4个内角都是直角；
  2．矩形的对角线相等且互相平分；
  3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等；
  4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。
  5．矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质
  6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形

• 矩形的判定：
  ①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
  ②定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
  ③定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
  ④对角线互相平分且相等的四边形是矩形
  矩形的面积：S_矩形=长×宽=ab。

• 黄金矩形:
  宽与长的比是（√5-1）/2（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形。
  黄金矩形给我们一协调、匀称的美感。世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计。如希腊的巴特农神庙等。