题文

已知：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC 边上的点，且AE⊥EF于点E。 （1）延长EF交正方形ABCD的外角平分线CP于点P，试判断AE与EP的大小关系，并说明理由； （2）在AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）结论：AE=PE，理由如下： 如图（1），在AB上截取BN=BE，连接AE， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC，∠B=90°， ∴AN=EC，∠1=∠2=45°， ∴∠4=l35°， ∵CP为正方形ABCD的外角平分线，  ∴∠PCE=135°， ∴∠PCE=∠4， ∵∠AEP=90°， ∴∠BEA+∠3=90°， ∵∠BAE+∠BEA=90°，∠3=∠BAE， ∴△ANE≌△ECP， ∴AE=EP；
（2）存在点M使得四边形DMEP是平行四边形，证明如下： 如图（2），过点D作DM∥PE，交AE于点K，交AB于点M，连接ME、DP， ∴∠AKD=∠AEP=90°， ∵∠BAD=90°， ∴∠ADM+∠AMD=90°， 又∠MAK +∠AMD=90°， ∴∠ADM=∠MAK， ∵AD=AB，∠B=∠DAB， ∴△AMD≌△BEA， ∴DM=AE， ∴DM=EP， ∴四边形DMEP为平行四边形。

据专家权威分析，试题“已知：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的点，且AE⊥EF..”主要考查你对  角平分线的定义 ，全等三角形的性质，平行四边形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

角平分线的定义 全等三角形的性质平行四边形的判定

考点名称：角平分线的定义

• 角的平分线的定义：
  一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

• 角平分线的性质：
  角平分线上的点，到角两边的距离相等
  定理：
  角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。垂直于两边为最短距离。角平分线能得到相同的两个角。三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
  逆定理：
  到角两边的距离相等的点在角平分线上。

考点名称：全等三角形的性质

• 全等三角形：
  两个全等的三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应地相等。全等三角形是几何中全等的一种。根据全等转换，两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称，或重叠等。当两个三角形的对应边及角都完全相对时，该两个三角形就是全等三角形。正常来说，验证两个全等三角形时都以三个相等部分来验证，最后便能得出结果。
  全等三角形的对应边相等，对应角相等。
  ①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边;
  ②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角;
  ③有公共边的，公共边一定是对应边;
  ④有公共角的，角一定是对应角;
  ⑤有对顶角的，对顶角一定是对应角。

• 全等三角形的性质：
  1.全等三角形的对应角相等。
  2.全等三角形的对应边相等。
  3.全等三角形的对应边上的高对应相等。
  4.全等三角形的对应角的角平分线相等。
  5.全等三角形的对应边上的中线相等。
  6.全等三角形面积相等。
  7.全等三角形周长相等。
  8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。

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考点名称：平行四边形的判定

• 平行四边形的判定：
  （1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
  （2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
  （3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
  （4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
  （5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
  平行四边形的面积：S=底×高。