题文

如图，△ABC中，AB=AC，AD、CD分別是△ABC两个外角的平分线。 （1）求证：AC=AD； （2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形。

题型：证明题  难度：中档

答案

证明：（1）∵AB=AC， ∴∠B=∠BCA， ∵AD平分∠FAC， ∴∠FAD=∠B， ∴AD∥BC， ∴∠D=∠DCE， ∵CD平分∠ACE， ∴∠ACD=∠DCE， ∴∠D=∠ACD， ∴AC=AD； （2）∵∠B=60°，AB=AC， ∴△ABC为等边三角形， ∴AB=BC， ∴∠ACB=60°，∠FAC=∠ACE=120°， ∴∠BAD=∠BCD=120°， ∴∠B=∠D=60°， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB=BC， ∴平行四边形ABCD是菱形。

据专家权威分析，试题“如图，△ABC中，AB=AC，AD、CD分別是△ABC两个外角的平分线。（1）求..”主要考查你对  角平分线的定义 ，菱形，菱形的性质，菱形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

角平分线的定义 菱形，菱形的性质，菱形的判定

考点名称：角平分线的定义

• 角的平分线的定义：
  一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

• 角平分线的性质：
  角平分线上的点，到角两边的距离相等
  定理：
  角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。垂直于两边为最短距离。角平分线能得到相同的两个角。三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
  逆定理：
  到角两边的距离相等的点在角平分线上。

考点名称：菱形，菱形的性质，菱形的判定

• 菱形的定义:
  在一个平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

• 菱形的性质:
  ①菱形具有平行四边形的一切性质；
  ②菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角；
  ③菱形的四条边都相等；
  ④菱形既是轴对称图形（两条对称轴分别是其两条对角线所在的直线），也是中心对称图形（对称中心是其重心，即两对角线的交点）；
  ⑤在有一个角是60°角的菱形中，较短的对角线等于边长，较长的对角线是较短的对角线的根号3倍。

• 菱形的判定:
  在同一平面内，
  （1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
  （2）定理1：四边都相等的四边形是菱形
  （3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
  菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，而且是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而增加了一些特殊的性质和判定方法。
  菱形的面积：S_菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半。