题文

如图，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．

求证：(l) ∠E=∠A；   (2)若BE、CE是△ABC两外角平线且交于点E，则∠E与∠A又有什么关系？

题型：证明题  难度：中档

答案

证明:(1)∵三角形内角和为180°，             ∴∠A+∠ABC+ ∠ACB=180°，             ∴∠CBE+∠E+ ∠BCE=180°．           又∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD.     ∴∠CBE=∠ABC，∠ACE=∠ACD.     ∵三角形外角等于不相邻的两内角和，     ∴∠ACD=∠A+ ∠ABC，∠BCE=∠ACB+∠ACE．     由∠CBE+ ∠E+∠BCE=180°可知 ∠ABC+ ∠E+∠ACB+∠ACE=180°，     左式=∠ABC+∠E+∠ACB+∠ACD=∠ABC+∠E+∠ACB+ (∠A+∠ABC)=∠ABC+∠E+∠ACB+∠A.     又∵∠A+ ∠ABC.+∠ACB=180°．       ∴∠A+∠ABC+∠ACB =∠ABC+∠E+∠ACB+∠A.       ∴∠E=∠A．   (2)∠E=90°-∠A

据专家权威分析，试题“如图，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于..”主要考查你对  角平分线的定义 ，三角形的内角和定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

角平分线的定义 三角形的内角和定理

考点名称：角平分线的定义

• 角的平分线的定义：
  一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

• 角平分线的性质：
  角平分线上的点，到角两边的距离相等
  定理：
  角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。垂直于两边为最短距离。角平分线能得到相同的两个角。三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
  逆定理：
  到角两边的距离相等的点在角平分线上。

考点名称：三角形的内角和定理

• 三角形的内角和定理及推论：
  三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
  推论：
  （1）直角三角形的两个锐角互余。
  （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
  （3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
  注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。