如图,△ABC的三条角平分线交于I点,AI交BC于点D.求证:∠CID+∠ABI=90°.-数学

首页 > 考试 > 数学 > 初中数学 > 角平分线的定义/2019-12-31 / 加入收藏 / 阅读 [打印]

题文

如图,△ABC的三条角平分线交于I点,AI交BC于点D.
求证:∠CID+∠ABI=90°.

题型:解答题  难度:中档

答案

证明:∵I是△ABC的三条角平分线的交点,
∴∠IAC=
1
2
∠BAC,∠ICA=
1
2
∠BCA,∠ABI=
1
2
∠ABC,
由三角形的内角和定理知:
∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°,
∴∠IAC+∠ICA+∠ABI=90°;
由三角形的外角性质知:
∠CID=∠IAC+∠ICA;
故∠CID+∠ABI=90°.

据专家权威分析,试题“如图,△ABC的三条角平分线交于I点,AI交BC于点D.求证:∠CID+∠ABI=..”主要考查你对  角平分线的定义 ,三角形的内角和定理,三角形的外角性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

角平分线的定义 三角形的内角和定理三角形的外角性质

考点名称:角平分线的定义

  • 角的平分线的定义
    一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。

  • 角平分线的性质:
    角平分线上的点,到角两边的距离相等
    定理:
    角平分线上的任意一点,到角两边的距离相等。垂直于两边为最短距离。角平分线能得到相同的两个角。三角形三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等。
    逆定理:
    到角两边的距离相等的点在角平分线上。

考点名称:三角形的内角和定理

  • 三角形的内角和定理及推论:
    三角形的内角和定理:三角形三个内角和等于180°。
    推论:
    (1)直角三角形的两个锐角互余。
    (2)三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
    (3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
    注:在同一个三角形中:等角对等边;等边对等角;大角对大边;大边对大角。

考点名称:三角形的外角性质

  • 三角形的外角
    三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角,叫做三角形的外角。

    ∠1是三角形的外角。

  • 三角形的外角特征:
    ①顶点在三角形的一个顶点上,如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点;
    ②一条边是三角形的一边,如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边;
    ③另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。
     
    性质:
    ①. 三角形的外角与它相邻的内角互补。
    ②. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
    ③. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
    ④. 三角形的外角和等于360°。
    设三角形ABC 则三个外角和=(A+B)+(A+C)+(B+C)=360度。

    定理:三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。
    定理:三角形的三个内角和为180度。

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