题文

小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME的平分线交直线AB于点F． （1）如图①，M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是             ； 如图②，M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是            ； 如图③，M为边AC延长线上一点，则BD、MF的位置关系是               ； （2）请就图①、图②、或图③中的一种情况，给出证明． 我选图     来证明．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）BD∥MF，BD⊥MF，BD⊥MF；（2）证明见解析．

试题分析：（1）①根据题意知∠AME+∠ABC=180°，再利用角平分线的性质得∠AMF+∠ABD=90°,而∠AMF+∠AFM=90°,从而∠AFM=∠ABD，即BD∥MF； ②易证∠AME=∠ABC,由MF、BD分别是∠AME、∠ABC的平分线，可知∠AMF=∠ABD．而∠ABD+∠ADB=90°，所以∠AMF+∠ADB=90°，故BD⊥MF； ③方法同（2）； (2)分析同（1）． (1)BD∥MF，BD⊥MF，BD⊥MF； (2)（1）BD∥MF 理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC， ∴∠ABC+∠AME=360°﹣90°×2=180°， ∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME， ∴∠ABD=∠ABC，∠AMF=∠AME， ∴∠ABD+∠AMF=（∠ABC+∠AME）=90°， 又∵∠AFM+∠AMF=90°， ∴∠ABD=∠AFM， ∴BD∥MF； （2）BD⊥MF． 理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC， ∴∠ABC+∠C=∠AME+∠C=90°， ∴∠ABC=∠AME， ∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME， ∴∠ABD=∠AMF， ∵∠ABD+∠ADB=90°， ∴∠AMF+∠ADB=90°， ∴BD⊥MF； （3）BD⊥MF． 理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC， ∴∠ABC+∠ACB=∠AME+∠ACB=90°， ∴∠ABC=∠AME， ∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME， ∴∠ABD=∠AMF， ∵∠AMF+∠F=90°， ∴∠ABD+∠F=90°， ∴BD⊥MF

据专家权威分析，试题“小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在Rt△ABC中，∠..”主要考查你对  点、线、面、体   等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

点、线、面、体

考点名称：点、线、面、体

• 点动成线，线动成面，面动成体：
  长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体也简称体。
  包围着体的是面，面有平的面和曲的面两种。
  夜晚流星划过天空时留下一道明亮的光线，节日的焰火画出的曲线组成优美的图案，这些都给我们以线的形象，面和面相交的地方形成线。
  天上的星星、世界地图上的城市等都给我们以点的形象，线和线相交的地方是点。
  几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素。

• 常见几何体的三视图：
  
  

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