(1)如图1,点P为矩形ABCD对角线的交点.请你完成以下作图:过点B作PA的平行线BPˊ,过点C作PD的平行线交BPˊ于点Pˊ,连接PPˊ;(2)在(1)的条件下,判断PPˊ与BC的位置关系,并证明-数学-00教育-零零教育信息网
题文
(1)如图1,点P为矩形ABCD对角线的交点.请你完成以下作图:过点B作PA的平行线BPˊ,过点C作PD的平行线交BPˊ于点Pˊ,连接PPˊ; (2)在(1)的条件下,判断PPˊ与BC的位置关系,并证明你的结论; (3)如图2,若点P为矩形ABCD内任意一点.求证:以AP、BP、CP、DP为边可以构成一个四边形,该四边形的两条对角线分别等于线段AB和BC,且互相垂直.
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题型:解答题 难度:中档
答案
(1)如图所示:
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(2)PP'与BC的位置关系为:垂直. 证明:∵BP'∥PA,CP'∥PD, ∴四边形PBP'C是平行四边形, ∵点P是矩形ABCD对角线的交点, ∴BP=BD,CP=AC,AC=BD,AC∥BD, ∴BP=CP, ∴四边形PBP'C是菱形, ∴PP'⊥BC.
(3)证明:过点B作AP的平行线BP,过点C作PD的平行线交BP'于点P',连接PP',交BC于点M.
∴∠PAB+∠ABP'=180°,∠PDC+∠DCP'=180°, 以PB、BP'、P'C、CP为边构成四边形,且以BC、PP'为对角线, ∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC,AD=BC,∠ABC=90°, ∴∠DAB+ABC=180°,∠ADC+∠DCB=180°, ∴∠1=∠2,∠3=∠4, ∴△APD≌△BP'C(ASA), ∴AP=BP' ∴四边形ABP'P是平行四边形. ∴AB∥PP',AB=PP'AP=BP', 同理可证:PD=CP', ∴∠PMC=∠ABC=90°, ∴PP'⊥BC于M, ∴以AP、BP、CP、DP为边能构成四边形,该四边形的两条对角线分别等于线段AB和BC,且互相垂直. |
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