题文

在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，P是AB上的点，过A点作PC的垂线交过B所作AB的垂线于Q点．求证：PD丄QD．

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：如图，设AQ交CP于E点，连ED，EB，PQ， ∵AD为斜边BC上的高，AE⊥CP， ∴Rt△ACD∽Rt△BCA，Rt△ACE∽Rt△PCA， ∴AC2=CD?CB，AC2=CE?CP， ∴CD?CB=CE?CP， ∴△CDE∽△CPB， ∴∠CED=∠CBP， ∴B，D，E，P四点共圆， ∴∠1=∠5+∠6，∠5=∠4， 又∵BQ⊥AB， ∴∠QEP=∠PBQ=90°， ∴B，Q，E，P四点共圆， ∴∠1=∠2+∠3，∠2=∠4， ∴∠3=∠6， ∴D，Q，B，P四点共圆， 而∠PBQ=90°， ∴∠PDQ=90°， 即PD⊥DQ．

据专家权威分析，试题“在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，P是AB上的点，过A点作PC的垂线交..”主要考查你对  三角形的内角和定理，点与圆的位置关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的内角和定理点与圆的位置关系

考点名称：三角形的内角和定理

• 三角形的内角和定理及推论：
  三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
  推论：
  （1）直角三角形的两个锐角互余。
  （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
  （3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
  注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

考点名称：点与圆的位置关系

• 点与圆的位置关系:
  由圆的定义可知，点与圆的位置关系有三种：点在圆上，点在圆内，点在圆外。
  点与圆的位置关系转化为点到圆心的距离与半径间的数量关系：
  设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
  d<r点P在⊙O内；
  d=r点P在⊙O上；
  d>r点P在⊙O外。