题文

△ABC的三条外角平分线所在的直线相交构成△DEF，那么△DEF的最大角α的取值范围是______．

题型：填空题  难度：中档

答案

根据角平分线定义、三角形的内角和定理以及外角的性质，得 ∠D=180°-（∠1+∠2）=180°- 1 2 （∠MAC+∠ACN）=180°- 1 2 （180°+∠B）=90°- 1 2 ∠B， 同理，得∠E=90°- 1 2 ∠C，∠F=90°- 1 2 ∠A． 因为△ABC中的最小角的取值范围，即大于0°而小于等于60°， 所以△DEF的最大角α的取值范围是大于等于60°而小于90°． 故答案为60°≤α＜90°．

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三角形的外角性质

考点名称：三角形的外角性质

• 三角形的外角：
  三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做三角形的外角。
  
  ∠1是三角形的外角。

• 三角形的外角特征：
  ①顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点；
  ②一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；
  ③另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。
   
  性质：
  ①. 三角形的外角与它相邻的内角互补。
  ②. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
  ③. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
  ④. 三角形的外角和等于360°。
  设三角形ABC 则三个外角和=（A+B）+（A+C）+（B+C）=360度。
  
  定理：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。
  定理：三角形的三个内角和为180度。