题文

先请阅读下列题目和解答过程： “已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状． ∵a2c2-b2c2=a4-b4① ∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2） ② ∴c2=a2+b2③ ∴△ABC是直角三角形．”④ 请解答下列问题： （1）上列解答过程，从第几步到第几步出现错误？ （2）简要分析出现错误的原因； （3）写出正确的解答过程．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）从第②步到第③步出错（写成第“2”或“二”等数字都不扣分；另外直接写“第③步” 或“到第③步”都算正确），（2分） （2）等号两边不能同除a2-b2，因为它有可能为零．（4分） （3）（从头或直接从第③步写解答过程都行）， ∵a2c2-b2c2=a4-b4， ∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2）， 移项得：c2（a2-b2）-（a2+b2）（a2-b2）=0， 得（a2-b2）（c2-a2-b2）=0，（5分） ∴a2=b2或c2=a2+b2（6分） ∴△ABC是直角三角形或等腰三角形．（7分）

据专家权威分析，试题“先请阅读下列题目和解答过程：“已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的逆定理，勾股定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定勾股定理的逆定理勾股定理

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

• 定义：
  有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

• 等腰三角形的性质：
  1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
  2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
  3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
  4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
  5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
  6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
  7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
  8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
  9.等腰三角形中腰大于高
  10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

• 等腰三角形的判定：
  1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
  2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
  3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。

考点名称：勾股定理的逆定理

• 勾股定理的逆定理:
  如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形。
  
  勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法。
  若c为最长边，且a²+b²=c²，则△ABC是直角三角形。如果a²+b²>c²，则△ABC是锐角三角形。如果a²+b²<c²，则△ABC是钝角三角形。
  由于余弦定理是由勾股定理推出的，故可以用来证明其逆定理而不算循环论证。
  勾股定理的逆定理是判定三角形是不是直角三角形的重要方法。

• 勾股定理的来源：
  毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。
  毕达哥拉斯在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。　
  常用勾股数组（3,4,5）；（6,8,10）；（5,12,13）；（8,15,17） ；（7,24,25）
  有关勾股定理书籍 ：《数学原理》人民教育出版社；《探究勾股定理》同济大学出版社；《优因培教数学》北京大学出版社；《勾股书籍》新世纪出版社；《九章算术一书》《优因培揭秘勾股定理》江西教育出版社；《几何原本》（原著：欧几里得）人民日报出版社。
  
  毕达哥拉斯树
  毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。又因为重复数次后 的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。　
  直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积。利用不等式A2+B2≥2AB可以证明下面的结论：三个正方形之间的三角形，其面积小于等于大正方形面积的四分之一，大于等于一个小正方形面积的二分之一。

考点名称：勾股定理

• 勾股定理:
  直角三角形两直角边(即“勾”，“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。也就是说，如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么。
  勾股定理只适用于直角三角形，应用于解决直角三角形中的线段求值问题。

• 定理作用
  ⑴勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。
  ⑵勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。
  ⑶勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。
  ⑷勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。

• 勾股定理的应用：
  数学
  从勾股定理出发开平方、开立方、求圆周率等，运用勾股定理数学家还发现了无理数。
  勾股定理在几何学中的实际应用非常广泛，较早的应用案例有《九章算术》中的一题：“今有池，芳一丈，薛生其中央，出水一尺，引薛赴岸，适与岸齐，问水深几何？答曰："一十二尺"。
  
  生活
  勾股定理在生活中的应用也较广泛，举例说明如下：
  1、挑选投影设备时需要选择最佳的投影屏幕尺寸。以教室为例，最佳的屏幕尺寸主要取决于使用空间的面积，从而计划好学生座位的多少和位置的安排。选购的关键则是选择适合学生的屏幕而不是选择适合投影机的屏幕，也就是说要把学生的视觉感受放在第一位。一般来说在选购时可参照三点：